积分的应用：问题解决

呼吸是一个周期性过程，每个完整的呼吸周期大约持续5秒。

目标是求出在此呼吸周期中任意时刻 t 肺部吸入空气的体积。

气流速率随时间变化，可用正弦函数进行建模。结果显示，气流在吸气中期达到峰值，并在呼气时发生反向，最大速率约为 0.5 L/s。

微小时间 dt 内的无穷小体积 dV 通过对从 0 到 t 的气流速率进行积分，累积为总的吸入体积。

代换法通过将变量 u 设为 2πx 除以 5 来简化积分。微分 dx 用 du 表示，以匹配新变量。积分限也相应改变，变为从 0 到 2πt 除以 5。

该积分化为标准的正弦函数形式，其积分结果为负的余弦函数，并通过积分限进行计算。

这表示在呼吸周期中，吸入空气的体积（以升为单位）随时间变化的情况，在吸气阶段达到最大值。

该模型包含气流的方向和流速，能够清晰地显示随时间变化的呼吸容积。