几何序列

假设将一个球从某一高度 dropped 到坚硬的表面上。每次弹起后，它都会反弹到前一次弹起高度的固定比例。

回弹高度遵循几何模式，每一次新的高度均为前一次高度的一个固定比例。

用于乘法的固定值称为公比。

第一项表示初始反弹高度，每一后续高度通过将前一项乘以公比来计算。

此过程模拟了指数衰减，因为球在每次弹跳时都会损失能量。

随后，通过将每次反弹高度乘以 2 来计算多次反弹后的总累计距离，以同时考虑上升和下降过程，但初始下落除外。

当序列中的每一项都加倍后，可通过部分和——即固定数量项的和——来计算小球在任意时刻所经过的总累计距离。

要求得第 n 个部分和，可先写出该和式，再将其乘以公比，使所有项向前移动一位。相减后中间项相互抵消，仅剩下首项和末项。

因式分解与除法运算得到第 n 项部分和，展示了几何数列在实际情境中的工作原理。