利用横截面积求体积

对于横截面积已知的立体，可通过沿垂直于切片方向的轴对这些面积进行积分来求得体积。

考虑一个高为 h、底面为边长 a 的等边三角形的四面体。

原点位于顶部顶点，y轴沿高度方向延伸。

垂直于该轴的横截面形成较小的等边三角形，其尺寸从顶点向底面逐渐增大。

当一个底边与 x 轴平行时，可通过相似三角形求得在高度 y 处每个小等边三角形的边长。该边长按 y 与 h 的比值乘以 a 的比例缩放。

每个等边三角形的面积等于其边长平方乘以根号3除以4。这些面积展示了沿高度方向变化的横截面。

通过从顶点到底面积分这些面积，可以求得四面体的体积。结果与高和底边长度平方的乘积成正比。

测量人员使用此方法通过测量不规则碎石堆的横截面变化并对其进行积分，以获得其体积，从而准确估算材料量。