多变量链式法则

考虑一个变量 z，它依赖于 x 和 y，而 x 和 y 均依赖于另一个变量 t。

尽管 t 不直接出现在 z 的表达式中，t 的变化会改变 x 和 y，从而导致 z 发生间接变化。此处的目标是求 z 对 t 的全导数，即 dz/dt。

假设所有函数均可微，则 z 的总变化量等于其对 x 和 y 的偏变化量之和。

将此关系式除以 Delta t 并取 Delta t 趋近于零时的极限，这些比值便转化为导数。

这表明总导数是 x 和 y 对 t 的导数之和，每个导数乘以原函数相应的偏导数，由此得到多变量链式法则。

例如，考虑一个气象气球，其温度取决于海拔和湿度。随着气球上升，这两个变量均随时间变化。

利用多元函数的链式法则，总温度变化等于：温度随高度的变化率乘以气球的速度，加上温度随湿度的变化率乘以湿度随时间的变化率。