多重积分中的变量替换

在多变量微积分中，对区域 R 上的多重积分进行求值时，由于区域 R 在 x 和 y 坐标系下可能具有复杂的边界，因此通常显得困难。

为了简化这一数学评估，通过一组特定的变换方程，将变量变换至由变量 u 和 v 定义的新坐标系中。

这种变换将 xy 平面上的原始区域 R 完全映射为 uv 平面上的新区域 S，从而在两个不同的坐标系中形成了两个不同的面积微元 dxdy 和 dudv。

为了关联这两个区域元素，需要计算一个关键分量——雅可比（Jacobian）。它用于度量原始区域 R 在变换到新区域 S 的过程中被拉伸或压缩的程度。

雅可比行列式通过对包含原始变量 x 和 y 关于新变量 u 和 v 的偏导数的行列式进行求值而得到。

最后，将新代入的函数乘以雅可比行列式的绝对值。此步骤完成了变换过程，得到在新区域 S 上完全重写后的积分。