参数曲面的切平面

考虑一个抛物面，其中r表示该表面上任意一点的位置矢量。以x和y为参数，该曲面可用参数形式描述。

切平面是一个平面，它在唯一的一个点处接触该曲面。因此，切平面包含了通过该点的所有曲面上曲线路径的切向量。

偏导数 r_x 给出 x 方向的切向量，而偏导数 r_y 给出 y 方向的切向量。

在点 A 处求这些值，可得到切平面内沿 x 和 y 方向的切向量。

它们的叉积给出一个法向量 n，该向量垂直于切平面。

对于切平面内的任意一点 P，从 A 指向 P 的向量 v 位于该平面内，因此与平面的法向量 n 垂直。

因此，向量 n 与 v 的点积为零。展开该点积并化简，可得到给定曲面在点 A 处的切平面的最终方程。