多方向向量
来源：Nicholas Timmons，Asantha Cooray，博士，物理系 & 天文学，加州大学尔湾分校物理科学学院，加利福尼亚州尔湾
本实验演示了矢量在多个方向上的加法与减法运算。目标是通过解析方法计算多个矢量的加法或减法结果，然后通过实验验证计算的准确性。
矢量是具有大小和方向的…
1. 平衡力。
- 在力桌装置上，设置两个滑轮，使相同质量的重物朝向相反方向（角度相差180°）。
- 每个力的大小等于
。通过观察力桌中心的圆环是否保持静止，来检查这两个力是否大小相等、方向相反。 - 请注意，若将与这些力相关的矢量分量相加，其合力矢量的大小将为零。这是判断所有力处于平衡状态的方法。
2. 分析计算。
- 本实验将包含三个处于平衡状态的力。其中两个力为已知量，第三个力将首先通过矢量理论进行解析计算，然后通过实验测定。在本实验过程中，保持
位于 0° 方向不变。 - 注意，若 和
已知，且当 
加入系统后使这两个力达到平衡，则 的大小与 和 的矢量和相等，但方向相反。 - 计算 和 的大小。利用公式 ，以及 1 牛顿（N）是等于
的力的单位这一事实。 - 根据矢量理论，计算若 为 与 的矢量和时，其大小应为多少。
- 根据矢量理论，计算若 为 与 的矢量和时，其方向角应为多少。
3. 实验。
- 根据表1第一行中和的数值，在力桌装置上设置两个力。注意保持位于0°方向。
- 通过增减砝码并调整角度来设置第三个力，直至达到平衡状态。将这些数值记录在表2中。
- 对四种情况中的每一种重复步骤3.2。
- 通过计算
，确定与解析结果之间的百分差异。使用这些计算值完成表2的填写。
矢量是具有大小和方向的量，而标量只有大小和正负号。
力、加速度和速度是矢量的例子，而质量、能量和时间则是标量的例子。
矢量通常用箭头表示。箭头的长度对应其大小，角度表示方向。
本视频将展示一个可通过矢量加法和减法进行分析的力系，并演示此类运算如何得出对理解多种物理现象具有重要意义的结果。
描述一个矢量需要一个坐标系。在这个选定的参考系中，这个被踢向空中的球具有一个初始速度矢量。如前所述，箭头的长度表示速度的大小，而矢量的方向则是其与地面的夹角。
任何矢量都可以分解为沿 x 轴和 y 轴的分量，这些分量本身也是矢量。如果小球的初速度为 20 米每秒，方向与水平方向成 60 度角，则水平分量为速度乘以 60 度的余弦值，大小为 10 米每秒。垂直分量为速度乘以 60 度的正弦值，大小约为 17.3 米每秒。
水平分量和垂直分量的矢量相加可重构原始速度矢量。要进行矢量相加，可想象将一个矢量的末端与另一个矢量的起点相连。在此示例中，这两个矢量恰好成直角。从第一个矢量的起点直接移动到第二个矢量末端的路径即为矢量之和。
这些分量相互垂直，因此其合量的大小由勾股定理给出。该角度等于垂直分量除以水平分量后的反正切值。
当对两个不互相垂直的矢量进行相加时，应先将每个矢量分解为 x 分量和 y 分量，然后将对应的分量分别相加。最后，按照之前所述方法计算水平分量与垂直分量的矢量和。从一个矢量中减去另一个矢量，等价于将第二个矢量取反后再与第一个矢量相加。具体操作与前述类似：先将每个矢量分解为 x 分量和 y 分量；然后用较大的 x 分量减去较小的 x 分量，并对 y 分量进行同样的操作；接着，与之前相同，计算所得 x 分量和 y 分量的矢量和。
为了在物理实验中演示矢量的加法与减法，通常使用力桌。力桌是一个圆盘，其边缘标有角度刻度，中心处有一个圆环，通过绳索连接，绳索另一端悬挂着经滑轮支撑的质量块。这些质量块产生力，即待研究的矢量。每根绳索上的力等于重力，即 mg，单位为牛顿（N）。
现在，在此装置中，如果有两个质量相等的物体彼此相距180度，则它们产生的力的矢量和为零。这种情况称为平衡，会导致加速度为零，因此圆环不会移动。
但如果拉动圆环的两个力不能相互抵消，例如由于角度发生变化，则非零的合力将导致圆环移动。在这种情况下，如果我们已知这些力的大小和方向，就可以通过矢量的加法和减法来计算出为恢复平衡所需施加的第三个力。
在下一节中，我们将展示如何进行此类用于验证矢量加法与减法理论原理的力桌实验。
如果两个力大小相等、方向相反，则桌中心的圆环不应发生移动。在此情况下，每个力矢量在大小和方向上恰好相互抵消。矢量和的大小为零，即合力为零，或称为平衡状态。
为了验证矢量加法和减法的原理，根据此表格第一行所示设置力 A 和 B 的质量与角度。保持 A 的角度为零度。现在，通过增减质量并调整角度来设置第三个力，直至圆环保持静止不动。
达到平衡后，将 C 的质量乘以重力加速度，计算出 C 的力。同时记录力 C 的大小和角度。
对三种不同情况进行重复测试，每次记录力 C 的大小和角度。
对于这四种实验装置，本表列出了计算得到的力 A 和力 B 的大小，以及力 B 相对于力 A 的夹角。以第一种装置为例，我们可以计算出为在平台上建立平衡所需施加的力 C。
此处，力 A 的大小为 0.98 牛顿，方向为 0°。力 B 的大小同样为 0.98 牛顿，但方向为 20°。为了确定力 C 的矢量，需将力 A 和力 B 分解为 x 和 y 分量。注意，力 A 仅沿 x 轴方向，无 y 分量。然后将各分量相加，得到 x 和 y 方向的矢量，即 A 和 B 矢量的矢量和。
为达到平衡，C 的 x 分量和 y 分量必须与这些矢量方向相反。为得到矢量 C，将 C 的 y 分量的起点移至其 x 分量的终点，然后利用勾股定理将这两个分量相加，以求得矢量 C 的大小。C 的角度则是垂直分量除以水平分量所得商的反正切值。因此，计算得出 C 的大小为 1.93 牛顿，相对于 x 轴的角度为 10°。
在实验过程中，我们通过观察和反复试错，调节砝码重量和角度，以防止力桌上的圆环发生移动，从而计算出 C 的值。
该表格显示，四种实验装置下力的大小和角度的实验值与计算值均非常接近。这种一致性验证了将力表示为矢量的合理性。差异可能源于砝码精度的限制、角度测量的误差，以及力桌和滑轮摩擦所引起的未计入的力。
矢量的加法与减法被应用于简单和复杂的多种场景中。让我们来看一些具体示例。
在游览纽约这样的城市时，距离通常以街区为单位来衡量，方向则用北、南、东和西表示。
一个人向东行走四个街区，再向北行走三个街区，其位置发生了变化，这是一种矢量量。因此，通过应用矢量加法公式，可以计算出行走起点与终点之间矢量的大小和方向。
从行走 到 飞行：飞行员通过不断进行心理上的矢量加减运算来操控飞机。通过使用机翼的襟翼和副翼，飞行员可以调节升力以对抗重力。当升力大于重力时，飞机上升；当升力小于重力时，飞机下降。
同样，飞行员通过调节发动机推力以对抗阻力。若推力大于阻力，飞机将加速；若推力小于阻力，则飞机会减速。
当这四个力的合力等于零时，飞机处于平衡状态，以恒定速度和高度巡航。
您刚刚观看了 JoVE 关于矢量的简介。您现在应该了解如何进行矢量的加减运算，并理解某些物理量作为矢量的特性。感谢观看！
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Q1: What is the difference between vectors and scalars?
Vectors have both magnitude and direction, while scalars have only magnitude and sign. Force, acceleration, and velocity are vectors. Mass, energy, and time are scalars. Vectors are typically represented by arrows where length indicates magnitude and angle indicates direction within a chosen coordinate system.
Q2: How do you decompose a vector into components?
Any vector can be decomposed into x- and y-component vectors along perpendicular axes. For a vector at angle θ with magnitude M, the horizontal component equals M times cosine of θ, and the vertical component equals M times sine of θ. These components can be recombined using vector addition to reconstruct the original vector.
Q3: What is the process for adding two non-perpendicular vectors?
Decompose each vector into x- and y-components, then add corresponding components separately. Calculate the resultant x- and y-components, then combine them using the Pythagorean theorem to find magnitude. Use arctangent of the vertical component divided by the horizontal component to find the angle of the resultant vector.
Q4: How does vector subtraction work in physics?
Subtracting one vector from another is equivalent to negating the second vector and adding it to the first. Decompose each vector into x- and y-components, subtract corresponding components, then calculate the vector sum of the resulting components using the Pythagorean theorem and arctangent to find magnitude and direction.
Q5: What is equilibrium and how does it relate to vector addition?
Equilibrium occurs when the net force on an object is zero, resulting in zero acceleration. On a force table, when two equal forces act at 180 degrees from each other, their vector sum is zero and the ring remains stationary. If forces do not cancel, vector addition determines the third force needed to restore equilibrium and establish rotational equilibrium.
Q6: How is a force table used to experimentally validate vector addition?
A force table is a disk with angle markings and a central ring attached to cords with suspended masses. Masses produce forces measured in Newtons. By adjusting masses and angles for two forces, students calculate the third force needed to prevent ring motion. Comparing calculated results using vector addition with experimental observations validates the vector principles.
Q7: What are real-world applications of vector addition and subtraction?
Pilots use vector addition and subtraction to maneuver aircraft by adjusting lift against gravity and thrust against drag. When the sum of these four forces equals zero, the plane maintains constant speed and altitude. Navigation also uses vectors: a person walking four blocks east and three blocks north can calculate their displacement vector using vector addition equations.