Name: rlc circuit transfer functions
Uploaded: 2024-09-26T13:17:18.000Z
Duration: 1 min 21 s
Channel: JoVE

Elektrische Netze werden zunächst durch Ersatzschaltungen dargestellt, die aus drei passiven linearen Komponenten bestehen: Widerstände, Kondensatoren und Induktivitäten.
Diese Komponenten werden zu Schaltkreisen kombiniert, wobei Ein- und Ausgang festgelegt werden, und die Übertragungsfunktion wird nach den Kirchhoffschen Gesetzen gefunden.
In einer RLC-Schaltung kann die Übertragungsfunktion, die die Spannung am Kondensator mit der Eingangsspannung in Beziehung setzt, mit Hilfe des Kirchhoffschen Spannungsgesetzes abgeleitet werden.
Daraus ergibt sich eine integro-differentielle Gleichung für das Netzwerk, bei der man von null Anfangsbedingungen ausgeht.
Die Variablen werden zunächst von Strom auf Ladung geändert, gefolgt von der Anwendung des Spannungs-Ladungs-Verhältnisses für einen Kondensator.
Wenn man die Laplace-Transformation dieser Gleichung vereinfacht, erhält man die Übertragungsfunktion für diese Schaltung.
Die Impedanz ist eine Übertragungsfunktion, die dem Widerstand ähnelt, aber auf Kondensatoren und Induktivitäten anwendbar ist.
Übertragungsfunktionen können auch unter Verwendung des aktuellen Kirchhoffschen Gesetzes mit Hilfe der Knotenanalyse ermittelt werden.
Die Ströme im System setzen sich aus dem Strom zusammen, der durch den Kondensator fließt, und dem Strom, der durch den Vorwiderstand und die Induktivität zirkuliert.
Nach der Vereinfachung wird das gleiche Ergebnis für die Übertragungsfunktion erreicht.

elektrische systeme

Electrical Systems

In der Elektrotechnik ist die Analyse von Netzwerken, die aus passiven linearen Komponenten bestehen – Widerständen (R), Kondensatoren (C) und Induktoren (L) – von grundlegender Bedeutung. Diese Komponenten sind in Schaltkreisen aufgebaut, in denen die Beziehung zwischen Eingang und Ausgang mithilfe von Übertragungsfunktionen analysiert werden kann. Die Übertragungsfunktion eines RLC-Schaltkreises, die die Spannung über einem Kondensator mit der Eingangsspannung in Beziehung setzt, kann mithilfe der Kirchhoffschen Gesetze abgeleitet werden.

Um die Übertragungsfunktion abzuleiten, betrachten Sie einen RLC-Schaltkreis mit in Reihe geschalteten Komponenten. Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz (KVL) besagt, dass die Summe aller Spannungen um einen geschlossenen Kreis Null ist. Für einen RLC-Schaltkreis ergibt sich daraus die folgende Integro-Differentialgleichung, wobei die Anfangsbedingungen mit Null angenommen werden:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16096/16096_PT%20EQUATION_1.svg" style="text-align: center; height: 32px;">

Hier ist V(t) die Eingangsspannung, VR(t)=i(t)R die Spannung über dem Widerstand, VC(t) = q(t)/C  ist die Spannung über dem Kondensator, wobei ��(��) die Ladung auf dem Kondensator ist und VL(t) = L(di(t)/dt) die Spannung über der Induktivität ist.

Der Strom ��(��) ist mit der Ladung q(t) durch i(t)=dq(t)/dt verknüpft. Das Einsetzen dieser Beziehungen in die KVL-Gleichung ergibt:

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16096/16096_PT%20EQUATION_2.svg" style="text-align: center; height: 48px;">

Wenn man die Gleichung in Spannungsform schreibt, die Laplace-Transformation beider Seiten vornimmt und dann annimmt, dass alle Anfangsbedingungen Null sind, erhält man die folgende Gleichung:

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16096/16096_PT%20EQUATION_3.svg" style="text-align: center; height: 30px;">

Umstellen der Terme zur Lösung der Übertragungsfunktion:

<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16096/16096_PT%20EQUATION_4.svg" style="text-align: center; height: 46px;">

Diese Übertragungsfunktion stellt die Spannung über dem Kondensator als Reaktion auf die Eingangsspannung im Frequenzbereich dar. Die Impedanz, analog zum Widerstand, aber anwendbar auf Kondensatoren und Induktoren, spielt eine Schlüsselrolle bei der Definition der Übertragungsfunktion. Darüber hinaus kann Kirchhoffs Stromgesetz (KCL) auch verwendet werden, um Übertragungsfunktionen über Knotenanalyse abzuleiten. Dieses Gesetz besagt, dass die Summe der Ströme, die in einen Knoten eintreten, gleich der Summe der Ströme sein muss, die den Knoten verlassen. Im RLC-Schaltkreis ist der Gesamtstrom die Summe des Stroms durch den Kondensator und des Stroms durch die Reihenschaltung aus Widerstand und Induktor. Durch Anwenden von KCL und Vereinfachen kann man dieselbe Übertragungsfunktion erreichen.

KVL und KCL sind leistungsstarke Werkzeuge in der Schaltkreisanalyse, die die Ableitung von Übertragungsfunktionen ermöglichen, die das dynamische Verhalten elektrischer Netzwerke im Frequenzbereich prägnant beschreiben. Diese Methoden sind für die Entwicklung und Analyse komplexer Schaltkreise in verschiedenen Anwendungen von entscheidender Bedeutung.

Elektrische Systeme

Elektrische Netze werden zunächst durch Ersatzschaltungen dargestellt, die aus drei passiven linearen Komponenten bestehen: Widerstände, Kondensatoren und Induktivitäten.
...

Education

Lehre

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrotechnik

Unit 1

Einheit 1

Modeling in Time and Frequency Domain

Modellierung im Zeit- und Frequenzbereich

KEY TERMS AND CONCEPTS

SCHLÜSSELBEGRIFFE UND KONZEPTE

rlc circuit transfer functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage.

A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero. Using that rule, the circuit can be written as an integro-differential equation when the initial conditions are zero.

In the equation, the input voltage is V(t). The resistor voltage is VR(t) = i(t)R, where i(t) is the current. The capacitor voltage depends on the charge q(t), and the inductor voltage depends on the current change in the loop. Since current and charge are related, these expressions can be substituted into the KVL equation.

The same circuit can also be written in voltage form and converted with the Laplace transform. With all initial conditions set to zero, this step gives an equation in the frequency domain. Rearranging the terms produces the transfer function for the capacitor voltage response.

Impedance plays an important role in this result. It works like resistance, but it applies to capacitors and inductors as well. The transfer function shows how the capacitor voltage responds to the input voltage in the frequency domain.

Kirchhoff's Current Law, or KCL, can also be used to reach the same result through nodal analysis. KCL says that the sum of currents entering a node must equal the sum of currents leaving it. In the RLC circuit, the total current is the current through the capacitor plus the current through the series resistor and inductor, and simplifying this relationship gives the same transfer function.

RLC Circuit Transfer Functions

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

linear approximation in frequency domain

Linearizing Nonlinear RL Circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount. Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a...

state space representation

RLC Circuit State Equations

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems. The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order...

transfer function to state space

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

Phase-variable state equations show how a transfer function can be rewritten for computer simulation. In state-space form, the system is described with state variables, which are the output and its first several derivatives. This makes it easier to model a physical system on a digital computer. The starting point is an nth-order linear differential equation with constant coefficients. Systems like an RLC circuit can be written this way. To build the state equations, the transfer function is...

state space to transfer function

Finding a Transfer Function from State Space

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems. The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics. Next, the Laplace...

linear approximation in time domain

Linearizing Nonlinear State-Space Models

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs. A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its...

key terms and concepts

Learn how KVL, KCL, and the Laplace transform are used to find the transfer function of a series RLC circuit and track capacitor voltage in the frequency domain.

RLC Circuit Transfer Functions | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

RLC Circuit Transfer Functions

Description

Transcript

Tags