Name: linearizing nonlinear rl circuits
Uploaded: 2024-09-26T13:17:19.000Z
Duration: 1 min 26 s
Channel: JoVE

Lineare Systeme weisen eine Überlagerung, d. h. die Summierung von Reaktionen auf einzelne Eingaben, und Homogenität auf, d. h. die konsistente Skalierung von Antworten auf eine Eingabe, die mit einem Skalar multipliziert wird.
Ein nichtlineares System kann als linear um einen Betriebspunkt für kleine Änderungen betrachtet werden.
Die Taylor-Reihenerweiterung verknüpft den Wert einer Funktion mit ihren Ableitungen an einem bestimmten Punkt und Abweichungen von diesem Punkt. Die Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung für kleine Abweichungen ergibt eine lineare Beziehung.
Stellen Sie sich eine RL-Schaltung mit einem nichtlinearen Widerstand vor. Das Vorhandensein der nichtlinearen Komponente erfordert eine Linearisierung des Systems, bevor die Übertragungsfunktion abgeleitet werden kann.
Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz wird verwendet, um eine nichtlineare Differentialgleichung abzuleiten.
Der stationäre Strom wird ermittelt, indem die Kleinsignalquelle auf Null gesetzt wird.
Der Ausdruck wird in Bezug auf den Gleichgewichtswert der Strömung umgeschrieben. Die Eigenschaften des nichtlinearen Widerstands werden verwendet, um die linearisierte Differentialgleichung abzuleiten.
Die bekannten Werte werden ersetzt, und die Laplace-Transformation wird ohne Anfangsbedingungen angewendet.
Der Ausdruck für die Spannung an der Induktivität um den Gleichgewichtspunkt wird der Laplace-Transformation unterzogen und vereinfacht, um die Übertragungsfunktion zu erhalten.

lineare näherung im frequenzbereich

Linear Approximation in Frequency Domain

Lineare Systeme zeichnen sich durch zwei Haupteigenschaften aus: Überlagerung und Homogenität. Überlagerung ermöglicht, dass die Reaktion auf mehrere Eingaben die Summe der Reaktionen auf jede einzelne Eingabe ist. Homogenität stellt sicher, dass die Skalierung einer Eingabe mit einem Skalar dazu führt, dass die Reaktion mit demselben Skalar skaliert wird.

Im Gegensatz dazu besitzen nichtlineare Systeme diese Eigenschaften nicht von Natur aus. Bei kleinen Abweichungen um einen Betriebspunkt herum kann ein nichtlineares System jedoch häufig als linear angenähert werden. Diese Näherung wird durch die Taylor-Reihenentwicklung erreicht, die eine Funktion in Bezug auf ihre Ableitungen an einem bestimmten Punkt ausdrückt. Durch Vernachlässigung höherwertiger Terme bei kleinen Abweichungen ergibt sich eine lineare Beziehung.

Betrachten Sie einen RL-Schaltkreis mit einem nichtlinearen Widerstand. Um dieses System zu analysieren, ist eine Linearisierung erforderlich, bevor die Übertragungsfunktion abgeleitet wird.

<img alt="Figure1" src="/files/ftp_upload/16099/16099_PT%20Figure_1.svg" style="text-align: center; height: 180px;">

Der erste Schritt besteht darin, Kirchhoffs Spannungsgesetz auf den Schaltkreis anzuwenden, was zu einer nichtlinearen Differentialgleichung führt, die das System beschreibt. Beispielsweise könnte die Gleichung des Spannungsgesetzes folgende Form annehmen:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16099/16099_PT%20EQUATION_1.svg" style="text-align: center; height: 20px;">

Wobei V(t) die angelegte Spannung, L die Induktivität, R der Widerstand und E die Batteriespannung ist.

Um den stationären Strom zu ermitteln, setzen wir die Kleinsignalquelle auf Null und berechnen den Gleichgewichtsstrom i_0. Die nichtlineare Differentialgleichung wird dann in Bezug auf Abweichungen von diesem Gleichgewicht neu geschrieben:

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16099/16099_PT%20EQUATION_2.svg" style="text-align: center; height: 22px;">

Die Eigenschaften des nichtlinearen Widerstands werden verwendet, um die linearisierte Differentialgleichung abzuleiten. Für kleine Abweichungen im Strom kann die Spannungsgleichung wie folgt geschrieben werden:

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16099/16099_PT%20EQUATION_3.svg" style="text-align: center; height: 32px;">

Wenn wir diese Näherung in die Gleichung des Spannungsgesetzes einsetzen, erhalten wir eine lineare Differentialgleichung. Durch die Substitution bekannter Werte und unter der Annahme, dass die Anfangsbedingungen Null sind, wird die Laplace-Transformation angewendet, um die Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung im Laplace-Bereich umzuwandeln.

Lineare Näherung im Frequenzbereich

Lineare Systeme weisen eine Überlagerung, d. h. die Summierung von Antworten auf einzelne Eingaben, und Homogenität auf, d. h. die konsistente Skalierung von Antworten auf eine Eingabe multipliziert mit einem ...

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Lehre

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrotechnik

Unit 1

Einheit 1

Modeling in Time and Frequency Domain

Modellierung im Zeit- und Frequenzbereich

KEY TERMS AND CONCEPTS

SCHLÜSSELBEGRIFFE UND KONZEPTE

linearizing nonlinear rl circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount.

Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a Taylor series expansion, which writes a function using its derivatives at one point. When higher-order terms are ignored for small deviations, the result is a linear relationship.

An RL circuit with a nonlinear resistor is a common example. The circuit is first described with Kirchhoff's voltage law, which gives a nonlinear differential equation. In that equation, V(t) is the applied voltage, L is the inductance, R is the resistance, and E is the battery voltage.

To analyze the circuit, the steady-state current is found first. The small-signal source is set to zero, and the equilibrium current i0 is solved for. The nonlinear equation is then rewritten in terms of small deviations from that equilibrium.

Next, the resistor’s characteristics are used to build the linearized equation. For small changes in current, the voltage can be approximated with a linear expression. Substituting that approximation into the voltage law gives a linear differential equation. With known values and zero initial conditions, the Laplace transform converts the equation into an algebraic form in the Laplace domain.

Linearizing Nonlinear RL Circuits

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC Circuit Transfer Functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

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key terms and concepts

Learn how a nonlinear RL circuit is linearized with Taylor series, steady-state current, Kirchhoff's voltage law, and the Laplace transform.

Linearizing Nonlinear RL Circuits | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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