Name: phase-variable state equations from transfer functions
Uploaded: 2024-11-21T14:54:05.000Z
Duration: 1 min 23 s
Channel: JoVE

Die Zustandsraumdarstellung wird für die Simulation physischer Systeme auf Digitalrechnern verwendet. Dazu muss zunächst die Übertragungsfunktion in den Zustandsraum umgewandelt werden.
Betrachten Sie eine lineare Differentialgleichungn-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Als Zustandsvariablen werden der Ausgang und seine n-1-Ableitungen ausgewählt. Wenn man diese Gleichungsreihen differenziert und wieder in die ursprünglichen Gleichungen einfügt, erhält man die Zustandsgleichungen.
Jede nachfolgende Zustandsvariable wird als Ableitung der vorherigen definiert.
Die resultierenden Gleichungen werden dann in Vektor-Matrix-Form dargestellt, wodurch ein eindeutiges Muster aus 1 und 0 zusammen mit den negativen Koeffizienten der Differentialgleichung entsteht. Diese einzigartige Struktur ist die phasenvariable Form der Zustandsgleichungen.
Betrachten Sie eine Übertragungsfunktion. Die Gleichung wird kreuzmultipliziert, und die entsprechende Differentialgleichung wird dann gefunden, indem die inverse Laplace-Transformation unter der Annahme von Nullanfangsbedingungen verwendet wird.
Die Zustandsvariablen werden als aufeinanderfolgende Ableitungen gewählt.
Die Differenzierung wird dann auf beide Seiten der Gleichung angewendet, wodurch die Zustandsgleichungen und die Ausgangsgleichung erhalten werden.
Diese Gleichungen werden dann in Vektor-Matrix-Form dargestellt.

Übertragungsfunktion aus zustandsraumdarstellung

Transfer Function to State Space

Die Zustandsraumdarstellung ist ein leistungsfähiges Werkzeug zur Simulation physikalischer Systeme auf digitalen Computern, wobei die Umwandlung der Übertragungsfunktion in die Zustandsraumdarstellung erforderlich ist. Betrachten Sie eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, wie sie in einem RLC-Schaltkreis vorkommen. Die Zustandsvariablen werden als Ausgabe und ihre n-1 Ableitungen ausgewählt. Durch Differenzieren dieser Variablen und erneutes Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung werden die Zustandsgleichungen erzeugt.

In einem RLC-Schaltkreis können die Spannung über dem Kondensator und der Strom durch die Induktivität als Zustandsvariablen verwendet werden. Beispielsweise können wir in einem System zweiter Ordnung, wie einem RLC-Reihenschaltkreis, die Spannung über dem Kondensator V_c als erste Zustandsvariable und den Strom durch die Induktivität i_L als zweite Zustandsvariable definieren. Die Übertragungsfunktion für einen RLC-Schaltkreis wird zunächst kreuzweise multipliziert, um die Differentialgleichung zu erhalten. Durch Anwenden der inversen Laplace-Transformation und unter der Annahme von Null-Anfangsbedingungen kann man die Zeitbereichsform der Gleichung ableiten.

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16101/16101_Equation_001.svg" style="height: 140px;">

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16101/16101_Equation_002.svg" style="height: 60px;">

Anschließend werden Zustandsvariablen als sukzessive Ableitungen der Ausgabe gewählt und zur Erzeugung der Zustandsgleichungen wird auf beide Seiten der Gleichung eine Differenzierung angewendet.

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16101/16101_Equation_003.svg" style="height: 25px;">

Die Differentialgleichungen des Systems werden dann in Vektormatrixform dargestellt, wodurch ein eindeutiges Muster aus Einsen und Nullen sowie die negativen Koeffizienten der ursprünglichen Differentialgleichung entsteht.

<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16101/16101_Equation_004.svg" style="height: 90px;">

Dies wird als phasenvariable Form der Zustandsgleichungen bezeichnet. Die Matrixstruktur bietet eine klare und prägnante Methode zur Simulation und Analyse des dynamischen Verhaltens des Systems.

Übertragungsfunktion aus Zustandsraumdarstellung

Die Zustandsraumdarstellung wird für die Simulation physischer Systeme auf Digitalrechnern verwendet. Dazu muss die Übertragungsfunktion zunächst in ...

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Elektrotechnik

Unit 1

Einheit 1

Modeling in Time and Frequency Domain

Modellierung im Zeit- und Frequenzbereich

KEY TERMS AND CONCEPTS

SCHLÜSSELBEGRIFFE UND KONZEPTE

phase-variable state equations from transfer functions

Phase-variable state equations show how a transfer function can be rewritten for computer simulation. In state-space form, the system is described with state variables, which are the output and its first several derivatives. This makes it easier to model a physical system on a digital computer.

The starting point is an nth-order linear differential equation with constant coefficients. Systems like an RLC circuit can be written this way. To build the state equations, the transfer function is first cross-multiplied to form the differential equation. Then the inverse Laplace transform is applied, with zero initial conditions, to get the time-domain form.

Next, the state variables are chosen from the output and its successive derivatives. For a second-order system such as a series RLC circuit, the voltage across the capacitor, Vc, can be used as the first state variable. The current through the inductor, iL, can be used as the second state variable.

After the variables are selected, each one is differentiated and substituted back into the original equation. This process generates the state equations. The equations are then written in vector-matrix form.

In phase-variable form, the matrix has a clear pattern of 1s and 0s. It also contains the negative coefficients from the original differential equation. This structure gives a compact way to simulate and analyze the system's dynamic behavior.

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

phase-variable-state-equations-from-transfer-functions

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC Circuit Transfer Functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

linear approximation in frequency domain

Linearizing Nonlinear RL Circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount. Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a...

state space representation

RLC Circuit State Equations

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems. The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order...

transfer function to state space

Phase-variable state equations show how a transfer function can be rewritten for computer simulation. In state-space form, the system is described with state variables, which are the output and its first several derivatives. This makes it easier to model a physical system on a digital computer. The starting point is an nth-order linear differential equation with constant coefficients. Systems like an RLC circuit can be written this way. To build the state equations, the transfer function is...

state space to transfer function

Finding a Transfer Function from State Space

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems. The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics. Next, the Laplace...

linear approximation in time domain

Linearizing Nonlinear State-Space Models

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs. A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its...

key terms and concepts

Learn how transfer functions are converted into phase-variable state equations using state variables, inverse Laplace transforms, and matrix form for RLC circuits.

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

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