Name: modeling voltage and current on transmission lines
Uploaded: 2024-11-21T14:54:26.000Z
Duration: 1 min 26 s
Channel: JoVE

Stellen Sie sich einen Stromkreis vor, der einen Linienabschnitt darstellt.
Die Messung von Spannung und Strom erfolgt von der Empfangsseite aus mit definierter Serienimpedanz und Shunt-Admittanz pro Längeneinheit.
Unter Verwendung der Kirchhoffschen Gesetze und unter Berücksichtigung der Grenzen delta x gegen Null werden zwei lineare Differentialgleichungen hergeleitet. Differenziert man die Spannung und setzt sie in die Stromgleichung ein, erhält man eine homogene Gleichung zweiter Ordnung.
Die Lösung umfasst zwei Integrationskonstanten und eine Ausbreitungskonstante. Setzt man dies in die Spannungsgleichung ein und ordnet den Nenner neu an, erhält man den Stromausdruck mit der charakteristischen Impedanz.
Nach Auswertung der Integrationskonstanten aus den Randbedingungen und Identifizierung hyperbolischer Funktionen erhält man die ABCD-Parameter der verteilten Geraden. Diese liefern den Strom und die Spannung an einem beliebigen Punkt relativ zu den Empfangsendwerten.
ABCD-Parameter werden auch auf der Sendeseite ausgewertet. Die Ausbreitungskonstante, eine komplexe Größe, ist dimensionslos, wenn sie mit der Länge multipliziert wird, und hilft bei der Bestimmung hyperbolischer Funktionen.
Diese Parameter gelten für jede Linienlänge. Die Approximation kann für manuelle Berechnungen mit kurzen und mittellangen Linien verwendet werden.

differentialgleichungen für Übertragungsleitungen

Übertragungsleitungen sind wesentliche Bestandteile elektrischer Energiesysteme. Sie zeichnen sich durch die verteilte Natur von Widerstand (R), Induktivität (L) und Kapazität (C) pro Längeneinheit aus. Zur Analyse dieser Leitungen werden Differentialgleichungen eingesetzt, um die Spannungs- und Stromschwankungen entlang der Leitung zu modellieren.

Linienabschnittsmodell

Ein Schaltkreis, der einen Leitungsabschnitt der Länge Δ_x darstellt, hilft beim Verständnis der Parameter der Übertragungsleitung. Die Spannung V(x) und der Strom i(x) werden vom Empfangsende aus gemessen. Die Leitung hat eine Serienimpedanz z=R+jωL pro Längeneinheit und eine Queradmittanz y=G+jωC pro Längeneinheit. Durch Anwendung des Kirchhoffschen Spannungsgesetzes (KVL) und des Kirchhoffschen Stromgesetzes (KCL) auf diesen Aufbau, lassen sich Beziehungen für Spannungs- und Stromschwankungen entlang der Leitung ableiten.

Wenn Δ_x gegen Null geht, verwandeln sich diese Beziehungen in lineare, homogene Differentialgleichungen erster Ordnung

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<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%202.svg" style="height: 30px;">

Diese Differentialgleichungen beschreiben wiederum, wie sich Spannung und Strom über die Länge der Übertragungsleitung ändern.

Das Lösen dieser Differentialgleichungen beinhaltet die Bestimmung der Ausbreitungskonstante γ, die die Auswirkungen sowohl der Serienimpedanz als auch der Queradmittanz umfasst. Die allgemeinen Lösungen für Spannung und Strom entlang der Leitung umfassen zwei Integrationskonstanten, die anhand der Randbedingungen am Empfangsende ausgewertet werden.

Die charakteristische Impedanz Z_c ist ein Schlüsselparameter, der die intrinsische Impedanz der Übertragungsleitung widerspiegelt. Mithilfe der Lösungen der Differentialgleichungen werden Spannung und Strom entlang der Leitung in Form von Hyperbelfunktionen ausgedrückt, cosh (Cosinus hyperbolisch) und sinh (Sinus hyperbolisch), mathematische Funktionen, die zur Modellierung der Spannungs- und Stromverteilung verwendet werden.

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%203.svg" style="height: 14px;">

<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%204.svg" style="height: 32px;">

ABCD-Parameter

Die ABCD-Parameter oder Übertragungsleitungskonstanten werden aus diesen hyperbolischen Funktionen abgeleitet. Diese Parameter liefern eine Matrixdarstellung, die die Spannung und den Strom an jedem Punkt entlang der Leitung mit den Werten am Empfangsende in Beziehung setzt. Die ABCD-Parameter sind entscheidend für das Verständnis, wie sich Signale durch die Übertragungsleitung ausbreiten.

<img alt="Equation5" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%205.svg" style="height: 32px;">

Ausbreitungskonstante

Die Ausbreitungskonstante γ ist eine komplexe Größe mit Real- und Imaginärteilen, die jeweils Dämpfung und Phasenverschiebung darstellen. Wenn diese Konstante mit der Leitungslänge multipliziert wird, wird sie dimensionslos und ist für die Auswertung der hyperbolischen Funktionen, die die Spannungs- und Stromverteilung beschreiben, von entscheidender Bedeutung.

Die genauen ABCD-Parameter sind für jede Leitungslänge gültig und bieten eine exakte Lösung für das Verhalten von Übertragungsleitungen. Für praktische Handberechnungen mit kurzen und mittellangen Leitungen können Näherungswerte verwendet werden. Diese Parameter analysieren Übertragungsleitungen umfassend unter verschiedenen Betriebsbedingungen und gewährleisten eine effiziente und zuverlässige Stromübertragung.

Differentialgleichungen für Übertragungsleitungen

Stellen Sie sich einen Stromkreis vor, der einen Linienabschnitt darstellt.
Die Messung von Spannung und Strom erfolgt von der Empfangsseite aus, mit definierter Reihenimpedanz und Shunt ...

Education

Lehre

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrotechnik

Unit 1

Einheit 1

Steady-State Transmission Lines and Power Flows

Stationäre Übertragungsleitungen und Leistungsflüsse

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KEY TERMS AND CONCEPTS

KERNBEGRIFFE UND KONZEPTE

Transmission-Line Differential Equations

modeling voltage and current on transmission lines

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation.

A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end. The line also includes a series impedance, z = R + jωL, and a shunt admittance, y = G + jωC, per unit length.

Kirchhoff’s Voltage Law and Kirchhoff’s Current Law are applied to the small line section. As Δx becomes very small, the results turn into linear, first-order, homogeneous differential equations. These equations describe how voltage and current change along the transmission line.

Solving the equations gives the propagation constant, γ. This complex value combines the effects of series impedance and shunt admittance. Its real part shows attenuation, and its imaginary part shows phase shift. The product of γ and the line length is dimensionless and is used in the hyperbolic functions that describe the line behavior.

The general solutions for voltage and current include two integration constants. These constants are found from boundary conditions at the receiving end. The solutions also define the characteristic impedance, Zc, which reflects the intrinsic impedance of the transmission line. Voltage and current can then be written with cosh and sinh functions.

From these hyperbolic expressions, the ABCD parameters, also called transmission line constants, are obtained. They give a matrix form that relates the voltage and current at any point on the line to the values at the receiving end. The exact ABCD parameters work for any line length, while short- and medium-length lines may use approximations for hand calculations.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

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transmission-line differential equations

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation. A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end.

lossless lines

Lossless Lines and Voltage Behavior

Lossless transmission lines in electrical engineering are described by a purely imaginary propagation constant and a resistive characteristic impedance. Their ABCD parameters show an equivalent pi circuit with an imaginary series impedance and a shunt admittance. When the product of beta and line length is less than pi, the line has inductive series impedance and capacitive shunt admittance, which keeps it lossless. Wavelength is the physical length over which voltage or current phase changes...

maximum power flow and line loadability

Transmission Line Power Limits and Loadability

Transmission line power limits and loadability depend on voltage, angle, and line impedance. For lossy transmission lines, ABCD parameters in phasor form are used to relate sending-end and receiving-end voltages and currents. This matrix relation makes it possible to find the receiving-end current and then calculate the complex power delivered to the load. From the complex power, the real and reactive power components can be determined. For a lossless line, the equations become simpler, and...

the power flow problem and solution

Power Flow Analysis in Electric Networks

Power flow analysis helps determine how real and reactive power move through an electric network. It uses the system’s single-line diagram, which shows the buses, transmission lines, transformers, and loads. The analysis focuses on balanced three-phase steady-state operation. Each bus in the system has four key variables: voltage magnitude V k, phase angle δ k, real power P k, and reactive power Q k. Two of these four variables are treated as inputs. The power flow program solves for the...

control of power flow

Voltage and Reactive Power Control

Voltage and reactive power control help keep a power system stable and efficient. In this topic, generator settings, switched equipment, and transformer taps work together to guide how power moves through the network. A generator can be modeled with a Thevenin equivalent circuit under balanced steady-state conditions. The main terms are terminal voltage Vt, excitation voltage Eg, power angle δ, and positive-sequence synchronous reactance Xg. From this model, the generator current and the...

fast decoupled and dc powerflow

Power Flow Shortcuts for Grid Contingencies

Fast decoupled power flow and DC power flow give engineers faster ways to study a power system during contingencies such as generator outages or transmission line failures. These methods help operators get quick power flow solutions, which is important for real-time system adjustments. Fast decoupled power flow simplifies the Jacobian matrix, the set of equations used in power flow calculations, by neglecting some elements. The method drops J2 and J3 and assumes voltage magnitudes stay close...

key terms and concepts

See how distributed R, L, and C lead to transmission-line differential equations, propagation constant γ, characteristic impedance Zc, and ABCD parameters.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

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