Name: modeling voltage and current on transmission lines
Uploaded: 2024-11-21T14:54:26.000Z
Duration: 1 min 26 s
Channel: JoVE

Considere un circuito que representa una sección de línea.
El voltaje y la corriente se miden desde el extremo receptor, con impedancia en serie definida y admitancia de derivación por unidad de longitud.
Usando las leyes de Kirchhoff y tomando límites delta x tiende a cero, se derivan dos ecuaciones diferenciales lineales. Diferenciando el voltaje y sustituyéndolo en la ecuación actual se obtiene una ecuación homogénea de segundo orden.
La solución implica dos constantes de integración y una constante de propagación. Sustituyendo esto en la ecuación de voltaje y reorganizando el denominador, se obtiene la expresión de corriente con la impedancia característica.
Después de evaluar las constantes de integración de las condiciones de contorno e identificar las funciones hiperbólicas, se obtienen los parámetros ABCD de la línea distribuida. Estos proporcionan la corriente y el voltaje en cualquier punto en relación con los valores del extremo receptor.
Los parámetros ABCD también se evalúan en el extremo de envío. La constante de propagación, una cantidad compleja, es adimensional cuando se multiplica por la longitud y ayuda a determinar las funciones hiperbólicas.
Estos parámetros se aplican a cualquier longitud de línea. La aproximación se puede utilizar para cálculos manuales que involucran líneas cortas y medianas.

ecuaciones diferenciales de líneas de transmisión

Las líneas de transmisión son componentes esenciales de los sistemas de energía eléctrica. Se caracterizan por la naturaleza distribuida de la resistencia (R), la inductancia (L) y la capacitancia (C) por unidad de longitud. Para analizar estas líneas, se emplean ecuaciones diferenciales para modelar las variaciones de voltaje y corriente a lo largo de la línea.

Modelo de sección de línea

Un circuito que representa una sección de línea de longitud Δ_x ayuda a comprender los parámetros de la línea de transmisión. El voltaje V(x) y la corriente i(x) se miden desde el extremo receptor. La línea tiene una impedancia en serie z=R+jωL por unidad de longitud y una admitancia en derivación y=G+jωC por unidad de longitud. Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff (KVL) y la ley de corriente de Kirchhoff (KCL) a esta configuración, derive relaciones para las variaciones de voltaje y corriente a lo largo de la línea.

A medida que Δ_x se acerca a cero, estas relaciones se transforman en ecuaciones diferenciales homogéneas, lineales y de primer orden.

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%201.svg" style="height: 30px;">
<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%202.svg" style="height: 30px;">

Estas ecuaciones diferenciales, a su vez, describen cómo el voltaje y la corriente cambian a lo largo de la línea de transmisión.

Para resolver estas ecuaciones diferenciales es necesario determinar la constante de propagación γ, que encapsula los efectos tanto de la impedancia en serie como de la admitancia en derivación. Las soluciones generales para el voltaje y la corriente a lo largo de la línea incluyen dos constantes de integración evaluadas mediante condiciones de contorno en el extremo receptor.

La impedancia característica Z_c es un parámetro clave que refleja la impedancia intrínseca de la línea de transmisión. Utilizando las soluciones de las ecuaciones diferenciales, la tensión y la corriente se expresan a lo largo de la línea en términos de funciones hiperbólicas, cosh (coseno hiperbólico) y sinh (seno hiperbólico), funciones matemáticas que se utilizan para modelar la distribución de la tensión y la corriente.

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%203.svg" style="height: 14px;">
<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%204.svg" style="height: 32px;">

Parámetros ABCD

Los parámetros ABCD, o constantes de la línea de transmisión, se derivan de estas funciones hiperbólicas. Estos parámetros proporcionan una representación matricial que relaciona el voltaje y la corriente en cualquier punto a lo largo de la línea con los valores en el extremo receptor. Los parámetros ABCD son cruciales para comprender cómo se propagan las señales a través de la línea de transmisión.

<img alt="Equation5" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%205.svg" style="height: 32px;">

Constante de propagación

La constante de propagación γ es una cantidad compleja con partes reales e imaginarias que representan la atenuación y el desfase, respectivamente. Cuando se multiplica por la longitud de la línea, esta constante se vuelve adimensional y es esencial para evaluar las funciones hiperbólicas que describen la distribución de la tensión y la corriente.

Los parámetros ABCD precisos son válidos para cualquier longitud de línea y ofrecen una solución exacta para el comportamiento de la línea de transmisión. Para cálculos prácticos manuales que involucren líneas de longitud corta y media, se pueden utilizar aproximaciones. Estos parámetros analizan exhaustivamente las líneas de transmisión en diversas condiciones de operación, asegurando una transmisión de energía eficiente y confiable.

Ecuaciones diferenciales de líneas de transmisión

Considere un circuito que representa una sección de línea.
El voltaje y la corriente se miden desde el extremo receptor, con impedancia ...

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Unidad 1

Steady-State Transmission Lines and Power Flows

Líneas de transmisión en estado estacionario y flujos de potencia

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KEY TERMS AND CONCEPTS

TÉRMINOS Y CONCEPTOS CLAVE

Transmission-Line Differential Equations

modeling voltage and current on transmission lines

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation.

A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end. The line also includes a series impedance, z = R + jωL, and a shunt admittance, y = G + jωC, per unit length.

Kirchhoff’s Voltage Law and Kirchhoff’s Current Law are applied to the small line section. As Δx becomes very small, the results turn into linear, first-order, homogeneous differential equations. These equations describe how voltage and current change along the transmission line.

Solving the equations gives the propagation constant, γ. This complex value combines the effects of series impedance and shunt admittance. Its real part shows attenuation, and its imaginary part shows phase shift. The product of γ and the line length is dimensionless and is used in the hyperbolic functions that describe the line behavior.

The general solutions for voltage and current include two integration constants. These constants are found from boundary conditions at the receiving end. The solutions also define the characteristic impedance, Zc, which reflects the intrinsic impedance of the transmission line. Voltage and current can then be written with cosh and sinh functions.

From these hyperbolic expressions, the ABCD parameters, also called transmission line constants, are obtained. They give a matrix form that relates the voltage and current at any point on the line to the values at the receiving end. The exact ABCD parameters work for any line length, while short- and medium-length lines may use approximations for hand calculations.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

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transmission-line differential equations

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation. A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end.

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key terms and concepts

See how distributed R, L, and C lead to transmission-line differential equations, propagation constant γ, characteristic impedance Zc, and ABCD parameters.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines | JoVE K12

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Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

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