7.9:
Estimación de la media poblacional con desviación estándar conocida
Para construir un intervalo de confianza para una sola media poblacional desconocida μ, donde se conoce la desviación estándar de la población, necesitamos la media muestral como una estimación para μ y necesitamos el margen de error. Aquí, el margen de error (MBE) se denomina límite de error para una media poblacional (MBE abreviada). La media muestral es la estimación puntual de la media poblacional desconocida μ.
La estimación del intervalo de confianza tendrá la siguiente forma:
(estimación puntual – límite de error, estimación puntual + límite de error)
El margen de error (MBE) depende del nivel de confianza (CL abreviado). A menudo se considera que el nivel de confianza es la probabilidad de que la estimación del intervalo de confianza calculada contenga el parámetro de población verdadero. Sin embargo, es más preciso afirmar que el nivel de confianza es el porcentaje de intervalos de confianza que contienen el parámetro de población verdadera cuando se toman muestras repetidas. En la mayoría de los casos, la persona que construye el intervalo de confianza elige un nivel de confianza del 90% o superior porque esa persona quiere estar razonablemente segura de sus conclusiones.
Hay otra probabilidad llamada alfa (α). α se relaciona con el nivel de confianza, CL. α es la probabilidad de que el intervalo no contenga el parámetro de población desconocido.
Matemáticamente, α + CL = 1.
Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación estándar conocida se basa en el hecho de que las medias muestrales siguen una distribución aproximadamente normal.
Pasos para calcular el intervalo de confianza:
Para construir una estimación del intervalo de confianza para una media poblacional desconocida, necesitamos datos de una muestra aleatoria. Los pasos para construir e interpretar el intervalo de confianza son:
Este texto es una adaptación de Openstax, Introducción a la Estadística, Sección 8.1 Una sola media poblacional usando la distribución normal.
Considere un ejemplo en el que un contenedor de camión debe ser rediseñado para acomodar troncos de roble más largos.
El contenedor está diseñado en base a mediciones obsoletas, por lo que los ingenieros requieren una nueva longitud media de los troncos.
Como es imposible obtener mediciones de todos los robles o troncos del mundo, se pueden extraer muestras de las existencias disponibles.
Esta es la media muestral, que es la mejor estimación puntual de la media poblacional cuando su desviación estándar es pequeña.
Sin embargo, el intervalo de confianza puede proporcionar una estimación más fiable de la media poblacional, lo que requiere calcular el margen de error utilizando la siguiente ecuación.
Si tanto la población como las muestras asumen la distribución normal y el tamaño de la muestra es superior a 30, se puede obtener un valor crítico utilizando la distribución z.
Sin embargo, determinar la media poblacional con estos supuestos requiere un conocimiento previo de la desviación estándar poblacional, lo cual es una situación poco realista.
En el ejemplo de los troncos de roble, los estudios forestales previos pueden proporcionar esta desviación estándar para calcular el margen de error.
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