La ecuación de Poisson y la ecuación de Laplace

En notación vectorial, el campo eléctrico se expresa como un gradiente negativo de potencial eléctrico. Aquí, el gradiente del potencial siempre apunta hacia la disminución más pronunciada del potencial, y su solución da un vector: un campo eléctrico.

Según la forma diferencial de la ley de Gauss, el gradiente de un campo eléctrico es igual a la relación entre la densidad de carga volumétrica adjunta y la permitividad del espacio libre.

Sustituyendo el gradiente de potencial en la ley de Gauss se obtiene una expresión para la ecuación de Poisson. Aquí, la divergencia del gradiente del potencial escalar es el operador laplaciano, lo que resulta en una función escalar.

Laplaciano es análogo a la diferenciación de segundo orden de las cantidades escalares. En cuanto al potencial eléctrico, es menor cuando está cerca de los mínimos locales, y mayor cuando está cerca de los máximos locales.

Cuando la carga de volumen incluida es cero, la ecuación de Poisson se reduce a la ecuación de Laplace.

La ecuación de Laplace tiene una solución única en un volumen dado si se especifica el potencial en el límite de la superficie, dado por el primer teorema de unicidad.