25.12: Condiciones de frontera electrostáticas en dieléctricos

Cuando un campo eléctrico pasa de un medio homogéneo a otro, cruzar la frontera entre los dos medios produce una discontinuidad en el campo eléctrico. Esto resulta en condiciones de frontera electrostáticas que dependen del tipo de medios a través de los cuales se propaga el campo.

Consideremos un caso en el que ambos medios a través de una frontera son dos materiales dieléctricos diferentes. Recordemos que el campo eléctrico y el desplazamiento eléctrico son proporcionales y se relacionan a través de la permitividad del material. Sustituyendo el campo eléctrico en las condiciones de frontera electrostáticas con el desplazamiento eléctrico, se muestra que la componente tangencial del desplazamiento eléctrico es discontinua a través de la interfaz. Pero para el mismo caso, el campo eléctrico es continuo. De manera similar, la componente normal del campo eléctrico es discontinua a través de la interfaz. Sin embargo, la componente normal del desplazamiento eléctrico es continua si no hay cargas libres en la frontera.

Consideremos reemplazar uno de los materiales dieléctricos con un conductor perfecto. Aplicar el campo eléctrico dentro de un conductor perfecto como cero proporciona las condiciones de frontera para una interfaz conductor-dieléctrico. Si se quita el otro dieléctrico, la permitividad del material es igual a la permitividad del espacio libre, ya que el valor de la constante dieléctrica para el espacio libre es 1. Sustituir esto en las condiciones de frontera conductor-espacio libre da las condiciones de frontera para una interfaz conductor-espacio libre.

La condición de contorno electrostático da la discontinuidad de un campo eléctrico en un límite superficial. Considere el caso en el que ambos medios a través del límite son materiales dieléctricos.

La reescritura del campo eléctrico en términos de desplazamiento eléctrico muestra que su componente tangencial es discontinuo a través de la interfaz.

Para el componente normal, considere un pastillero gaussiano en la interfaz. Reescribiendo la ley de Gauss en términos de desplazamiento eléctrico, el cambio en los componentes normales en la interfaz le da a la superficie densidad de carga libre.

Si no existen cargas libres en el límite, los componentes normales son continuos a través de la interfaz. Sin embargo, el campo eléctrico para el mismo es discontinuo.

Considere un conductor perfecto en lugar de uno de los dieléctricos. El campo eléctrico dentro de un conductor perfecto es cero. Sustituyendo esto en las condiciones de contorno dieléctrico-dieléctrico se obtienen las condiciones de contorno en una interfaz conductor-dieléctrico.

Si se elimina el otro dieléctrico, la permitividad del material es igual a la permitividad del espacio libre. Esto proporciona las condiciones de contorno en una interfaz de espacio sin conductores.