15.5: Frecuencia del sistema de masa-resorte

Una característica interesante del movimiento armónico simple (MAS) de un objeto sujeto a un resorte es que la frecuencia angular, el período y la frecuencia del movimiento dependen únicamente de la masa y la constante de fuerza del resorte, y no de otros factores como la amplitud del movimiento o las condiciones iniciales. Podemos usar las ecuaciones de movimiento y la segunda ley de Newton para encontrar la frecuencia angular, la frecuencia y el período.

Consideremos un bloque en un resorte en una superficie sin fricción. Hay tres fuerzas en la masa: el peso, la fuerza normal y la fuerza debida al resorte. Las únicas dos fuerzas que actúan perpendicularmente a la superficie son el peso y la fuerza normal, que tienen magnitudes iguales y direcciones opuestas; como resultado, su suma es cero. La única fuerza que actúa paralelamente a la superficie es la fuerza debida al resorte, por lo que la fuerza neta debe ser igual a la fuerza del resorte.

Según la ley de Hooke, siempre y cuando las fuerzas y deformaciones sean lo suficientemente pequeñas, la magnitud de la fuerza del resorte es proporcional a la primera potencia del desplazamiento. Debido a esto, el sistema de masa-resorte se llama oscilador armónico simple lineal.

Sustituyendo las expresiones para la aceleración y el desplazamiento en la segunda ley de Newton, se puede obtener la ecuación para la frecuencia angular.

La frecuencia angular depende únicamente de la constante de fuerza y la masa, no de la amplitud. También está relacionada con el período de la oscilación utilizando la relación dada:

El período también depende únicamente de la masa y la constante de fuerza. Cuanto mayor sea la masa, más largo será el período. Cuanto más rígido sea el resorte, más corto será el período. La frecuencia es:

Considere un bloque de masa m conectado a un resorte horizontal, colocado sobre una superficie sin fricción.

La fuerza neta sobre el bloque es la suma de la fuerza debida a su peso, la fuerza normal y la fuerza debida al resorte.

Dado que el peso y la fuerza normal son de igual magnitud y en dirección opuesta, se cancelan entre sí y la fuerza neta se vuelve igual a la fuerza debida al resorte.

Aquí, la magnitud de la fuerza es proporcional a la primera potencia de desplazamiento. Debido a esto, el sistema de resorte-masa se denomina oscilador armónico lineal simple.

Usando la segunda ley de Newton, la fuerza se puede expresar en términos de aceleración.

Sustituyendo las expresiones de aceleración y desplazamiento, se obtiene la ecuación de la frecuencia angular.

La frecuencia angular también se define como 2π durante el período de oscilación.

Además, el inverso del período es la frecuencia de oscilación.

Un resorte rígido produce oscilaciones rápidas y un período corto. En comparación, un objeto pesado tiende a producir oscilaciones lentas y un período prolongado.