Teorema de Parseval

El teorema de Parseval establece que si una función es periódica, entonces la potencia promedio de la señal durante un período es igual a la suma de las magnitudes al cuadrado de todos los coeficientes complejos de Fourier.

Para validar el teorema de Parseval, supongamos que la función tiene una serie compleja de Fourier de una forma estándar. Sustituyendo esto y resolviendo aún más se obtiene la demostración del teorema.

Curiosamente, el teorema de Parseval también se puede expresar en términos de los coeficientes de Fourier de la serie trigonométrica de Fourier.

En el procesamiento de audio, el teorema de Parseval se utiliza para comparar la energía de una onda sonora original con su versión comprimida.

La interpretación de ingeniería de este teorema proporciona información práctica. Si la función representa una señal eléctrica, como corriente o voltaje, entonces el cuadrado de la función representa la potencia instantánea en una resistencia de 1 ohmio.

Este teorema también relaciona la energía disipada en la resistencia durante un período con la serie de Fourier, proporcionando dos expresiones diferentes: una en términos de la serie trigonométrica de Fourier y otra en términos de la serie de Fourier de fase de amplitud.