Convergencia de las series de Fourier

La serie de Fourier de una señal es una suma infinita de exponenciales complejas. La suma infinita a menudo se trunca a una suma parcial finita para hacerla práctica.

El aumento de términos en una suma parcial debería hacer que la aproximación converja a la señal. Sin embargo, cerca de las discontinuidades, se producen ondulaciones persistentes que se comprimen hacia la discontinuidad, un fenómeno conocido como el fenómeno de Gibbs.

Gibbs observó estas ondulaciones y sobreimpulsos de alta frecuencia cerca de las discontinuidades en las aproximaciones de series de Fourier truncadas.

Para mitigar esto, elija un gran número de términos de modo que la energía total de la ondulación sea insignificante.

A pesar de las ondulaciones, la energía en el error de aproximación disminuye con más términos, lo que permite que las series de Fourier representen señales discontinuas.

El truncamiento de la serie de Fourier a un número deseado de términos proporciona la mejor aproximación, minimizando el error. El error se reduce con más términos y finalmente se convierte en cero si la señal se puede representar mediante una serie de Fourier.

Por ejemplo, en el procesamiento de imágenes, la reducción d