19.7: Relación de la DFT con la transformada Z

La transformada discreta de Fourier (DFT) es una herramienta crucial para analizar el contenido de frecuencia de las señales de tiempo discreto. Convierte una secuencia de N muestras del dominio del tiempo en su secuencia correspondiente en el dominio de la frecuencia, donde cada muestra representa un componente de frecuencia específico.

Para entender cómo funciona la (DFT), es útil considerar la transformada z, que es un método para representar secuencias discretas en el dominio de frecuencia complejo. La transformada z implica sumar los términos de la secuencia, cada uno multiplicado por la potencia de un número complejo. Para las secuencias que comienzan en un punto específico en el tiempo y se extienden hacia adelante (secuencias causales), la transformada z se puede expresar como una suma infinita o finita, dependiendo de la longitud de la secuencia.

Al evaluar la transformada z en N puntos igualmente espaciados alrededor del círculo unitario en el plano complejo, se obtienen los valores que corresponden a los coeficientes de la DFT. Estos puntos son las raíces de la unidad, y la evaluación de la transformada z en estos puntos muestrea efectivamente el contenido de frecuencia de la señal en esas frecuencias específicas.

Por lo tanto, la (DFT) puede verse como una aplicación específica de la transformada z, enfocada en evaluar la secuencia en estas ubicaciones precisas en el círculo unitario. Este proceso traduce secuencias del dominio del tiempo en sus contrapartes del dominio de la frecuencia, lo que hace posible analizar los diferentes componentes de frecuencia de las señales de tiempo discreto.

La capacidad de la (DFT) para revelar el contenido de frecuencia de las señales resalta su importancia en el procesamiento de señales digitales y otros campos relacionados. Se usa ampliamente en aplicaciones como el procesamiento de señales de audio, el análisis de imágenes y los sistemas de comunicación. Además, la Transformada Rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo eficiente que se usa comúnmente para calcular la (DFT), lo que permite el procesamiento de señales en tiempo real.

La transformada discreta de Fourier (DFT) analiza el contenido de frecuencia de las señales de tiempo discreto.

Asigna la secuencia discreta en el dominio del tiempo muestreada N a su secuencia discreta en el dominio de la frecuencia, donde k representa el índice de frecuencia de 0 a N menos uno.

Para una secuencia de tiempo discreto, la transformada z se define sumando los términos de la secuencia multiplicados por potencias del inverso de z.

Considere la transformada z de una secuencia discreta. Para una secuencia causal, la transformada z se simplifica a una suma finita.

Al muestrear la transformada z en puntos igualmente espaciados en el círculo unitario, representados por exponenciales complejos, estos valores se sustituyen en la transformada z.

La expresión resultante coincide con la definición de la DFT, mostrando que la DFT de la secuencia es una versión muestreada de su transformación z en el círculo unitario.

La DFT es una versión muestreada de la transformada z evaluada en puntos específicos del círculo unitario en el plano complejo, que vincula secuencias en el dominio del tiempo con sus representaciones en el dominio de la frecuencia.

Esto muestra que la DFT es un caso específico de la transformada z evaluada en el círculo unitario.