La regla del producto

La Regla del Producto diferencia las funciones formadas por el producto de dos funciones.

Dice que la derivada de dos funciones u y v es la suma de u multiplicada por la derivada de v y v por la derivada de u.

Para entender por qué, imagina redimensionar una ventana rectangular en una pantalla. Su superficie es igual a ancho por altura.

A medida que tanto el ancho como la altura cambian con el tiempo, también cambia el área total. Este cambio puede visualizarse añadiendo nuevos bloques de píxeles a lo largo de los bordes y en las esquinas.

La expresión del área total tiene tres partes: una por la anchura, otra por la altura y otra por la esquina. Para encontrar la tasa de cambio, el cambio total de área se divide por el intervalo de tiempo.

Tomando el límite cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero, la primera parte se convierte en altura multiplicada por la tasa de cambio de ancho. La segunda es anchura multiplicada por la tasa de cambio de altura.

La parte de la esquina muestra el producto del pequeño cambio en la anchura y el pequeño cambio en la altura. Cuando el límite se acerca a cero, la parte de la esquina, que depende del tiempo, desaparece.

El resultado coincide con la regla del producto, mostrando cada función multiplicada por la derivada de la otra.