La regla del cociente

Un depósito de agua se llena y drena simultáneamente, provocando que el nivel del agua cambie debido a la desigualdad de entradas y salidas. El objetivo es averiguar cuánto tarda en vaciarse el tanque. Esto se expresa como la relación entre el volumen de agua y la tasa de drenaje, que cambia con el tiempo ya que ambas son funciones diferenciables del tiempo.

A medida que el agua entra en el depósito, el volumen total aumenta ligeramente, mientras que la tasa de drenaje también cambia debido a los ajustes del sistema. Estos pequeños cambios influyen en el cociente total volumen-drenaje.

Para encontrar la tasa de cambio del cociente, consideremos el cambio en el cociente en un pequeño intervalo de tiempo y luego dividimos este cambio entre ese intervalo.

Al introducir un límite cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero, delta R también se acerca a cero porque R varía continuamente con el tiempo, simplificando el denominador. Usando la definición de derivadas, se deriva la regla del cociente.

Es igual a la tasa de drenaje multiplicada por la derivada del volumen, menos el volumen por la derivada de la tasa de drenaje, todo dividido por el cuadrado de la tasa de drenaje.

Esta última expresión muestra cómo cambia la relación entre el volumen de agua y la tasa de drenaje con el tiempo. En general, esta expresión también relaciona cómo cambia la razón de dos funciones arbitrarias a lo largo del tiempo.