Derivadas de las funciones trigonométricas

Imagina una noria girando a velocidad constante. La altura vertical de un punto en su borde cambia suavemente con el tiempo, siguiendo una onda sinusoidal.

La velocidad de cambio de altura del jinete también varía de forma suave y cíclica, como otra ola. Esta tasa variable coincide con la derivada de la función seno.

Para encontrar la derivada del seno x, se parte de la definición límite de una derivada y se aplica al seno x.

Primero, expande el seno de (x + h) usando la fórmula de suma. Luego, reordena los términos y descarta el seno x y el coseno x.

Cuando h se acerca a cero, el coseno h menos 1 sobre h es cero, y el seno h sobre h se aproxima a 1.

Sustituyendo estos límites, se muestra que la derivada del seno x es coseno x.

El mismo enfoque muestra que la derivada del coseno x es seno x negativa.

Dado que la función tangente es la razón entre seno y coseno, para encontrar la derivada, se aplica la regla cociente. Ahora, sustituyendo los valores de las derivadas de las funciones seno y coseno y simplificando usando identidades trigonométricas, se obtiene la derivada de la tangente como secante al cuadrado.