La regla de la cadena

Consideremos un sistema de tres marchas, donde x, y y z representan las velocidades de rotación de la primera, segunda y tercera marcha, respectivamente.

La primera marcha gira la segunda, que gira la tercera. El sistema se analiza utilizando la Regla de la Cadena con una relación de variables de dos etapas.

La primera etapa expresa la dependencia de la rotación de la segunda marcha respecto a la primera, con z en función de x.

La segunda etapa expresa la dependencia de la rotación de la tercera marcha respecto a la segunda, con y como función de z.

De ello se deduce que la salida de la primera etapa se convierte en la entrada de la siguiente, formando una función compuesta.

Un pequeño cambio en una marcha provoca cambios en las otras. Para encontrar la tasa instantánea de cambio en y sobre x, se toma la razón de Delta y sobre Delta x con el límite cuando Delta x se acerca a cero. Al introducir la variable intermedia, delta z, esta razón se reescribe.

Cuando Delta x se acerca a cero, Delta z también se acerca a cero. Entonces el límite del producto de razones se expresa como el producto de dos derivadas, dando lugar a la Regla de la Cadena. Esto da la derivada de una función compuesta como la derivada de la función exterior multiplicada por la derivada de la función interna.