El número e como límite

El número e es una constante matemática fundamental en el cálculo, especialmente en el contexto del crecimiento exponencial.

Su función inversa es el logaritmo natural, que ayuda a definir e con mayor precisión.

La derivada de la función logarítmica natural es uno dividido por su entrada x. En x igual a uno, esta derivada es exactamente uno. Esta relación forma la base para definir e a través de límites.

La derivada puede expresarse usando el primer principio del cálculo, donde h representa un pequeño cambio en x. Dado que el logaritmo natural de uno es cero, la expresión se simplifica.

Exponenciar ambos lados elimina el logaritmo. Usar x como variable para el cambio pequeño da la primera definición límite de e. Cuando x se acerca a cero, el valor de esta expresión se acerca a un valor constante, e.

Otra forma de definir e es reemplazar la entrada por una fracción que disminuye a medida que aumenta su denominador. A medida que esta fracción disminuye, la expresión se estabiliza en e.

Esta definición es ampliamente utilizada. Por ejemplo, en el interés compuesto continuo, a medida que la frecuencia de composición se acerca al infinito, el límite se convierte en e, lo que conduce a un crec