Funciones hiperbólicas inversas y sus derivadas

La forma de un cable de puente colgante, cuando cuelga bajo su propio peso, sigue una curva de catenaria, modelada usando la función coseno hiperbólico.

Cuando se conoce la posición vertical y₁ , la función inversa hiperbólica del coseno ayuda a encontrar la posición horizontal correspondiente x₁.

Las funciones hiperbólicas inversas incluyen el seno hiperbólico inverso, el coseno y la tangente, junto con sus contrapartes cosecant, secanta y cotangente.

Para encontrar la derivada de la función inversa hiperbólica del coseno, primero exprésala en términos de la función coseno hiperbólica.

Diferenciar ambos lados da implícitamente una relación que involucra la función seno hiperbólica.

Usando la identidad estándar que relaciona el seno hiperbólico y el coseno, y sustituyendo la expresión por seno hiperbólico, se obtiene la derivada en términos del seno hiperbólico. Eliminar el coseno hiperbólico da la expresión final en términos de la posición vertical.

Esta expresión muestra que la tasa de cambio de la posición horizontal de una curva de catenaria de un puente colgante depende de la posición vertical.

La pendiente es mayor cerca de los soportes y menor en el centro.