El teorema del valor medio

El Teorema del Valor Medio establece una relación entre la tasa media de cambio de una función durante un intervalo y su tasa instantánea de cambio en algún punto dentro de ese intervalo.

El Teorema del Valor Medio establece que si una función es continua en un intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto, entonces existe al menos un punto c en el intervalo abierto donde la tasa instantánea de cambio es igual a la tasa media de cambio entre los extremos a y b.

Para relacionar esto con un ejemplo real, consideremos un vehículo circulando por una carretera entre dos puntos: su velocidad es baja al principio, aumenta a mitad de trayecto y disminuye hacia el final.

Una recta tangente toca la curva en un único punto, y la pendiente de esta línea da la tasa instantánea de cambio de velocidad en ese momento. La pendiente de una línea secante, que pasa por dos puntos de la curva, muestra la tasa media de cambio de velocidad entre esos puntos.

Esta pendiente secante es igual al cambio total en el valor de la función a lo largo del intervalo cerrado dividido por la longitud horizontal del intervalo.

El teorema garantiza que, al menos un momento durante el viaje, la aceleración instantánea debe haber sido exactamente igual a la aceleración media.