Segundas derivadas y la forma de una gráfica

La concavidad de un grafo —su curva hacia arriba o hacia abajo— proviene de la segunda derivada de su función, que muestra cómo se curva el gráfico y cómo cambia la pendiente.

Una segunda derivada positiva significa que el grafo es cóncavo hacia arriba. La pendiente aumenta en estas regiones, y el grafo se sitúa por encima de sus rectas tangentes.

Una segunda derivada negativa significa que el grafo es cóncavo hacia abajo. En estas regiones, la pendiente disminuye y el grafo se sitúa por debajo de sus líneas tangentes.

Si la segunda derivada es cero o indefinida, el punto puede ser un punto de inflexión. En este punto, el gráfico cambia de cóncavo hacia arriba a abajo, o viceversa.

Estos puntos dividen el dominio en intervalos para probar la concavidad. La prueba de la segunda derivada se utiliza en puntos críticos encontrados a partir de la primera derivada.

Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, el gráfico se curva hacia arriba y el punto es un mínimo local.

Si la segunda derivada es negativa en un punto crítico, el gráfico se curva hacia abajo y el punto es un máximo local.

En marketing, la segunda derivada muestra cómo cambian los rendimientos. Un gráfico cóncavo de beneficio publicitario hacia abajo significa que el gasto adicional genera ganancias menores, mientras que una curva cóncava hacia arriba hace que las ganancias crezcan más rápido.