Regla de sustitución aplicada a integrales indefinidas

Cuando se aplica una fuerza a un muelle lineal, la fuerza restauradora aumenta de forma uniforme con el desplazamiento. Esta relación sigue la ley de Hooke, que permite calcular el trabajo realizado a partir de la curva fuerza-desplazamiento.

Para un muelle no lineal, la ley de Hooke no se aplica. Su fuerza restauradora cambia con la posición, por lo que el gráfico fuerza-desplazamiento se vuelve curvo.

El trabajo total realizado en el estiramiento del muelle se determina integrando esta fuerza sobre el desplazamiento.

Sin embargo, la integral es difícil de resolver directamente porque un término raíz cuadrada complica el proceso estándar de integración.

Para simplificar la integral, se utiliza la regla de sustitución. Introduce una nueva variable para el término complejo. Diferenciar la variable y reorganizar la derivada nos ayuda a sustituir los otros términos dentro de la integral.

Aplicar la sustitución transforma el término dentro de la raíz cuadrada en una expresión más simple, convirtiendo la integral en una sola función de potencia.

Tras la integración, la nueva variable se reemplaza por la variable de desplazamiento original, preservando su interpretación física.

La expresión final representa el trabajo necesario para estirar un muelle no lineal.