3.5
Reglas para la definición de funciones
Una relación es una función si cada valor de entrada x está asociado a exactamente un valor de salida y. Por ejemplo, la ecuación y = 2x + 5 define un…
Una ecuación define una función cuando cada entrada del dominio da solo una salida en el rango. Si una sola entrada del dominio da dos salidas diferentes del rango, la relación no es una función.
Las tablas de funciones siguen la misma regla, si una tabla da más de una salida para la misma entrada, no define una función.
En un gráfico, si dos puntos comparten el mismo valor x pero tienen diferentes valores y, entonces no es una función.
Un gráfico representa una función si satisface la prueba de la línea vertical, lo que significa que ninguna línea vertical se cruza con el gráfico más de una vez.
Por ejemplo, una parábola lateral no pasa la prueba de la línea vertical porque las líneas verticales la intersecan en dos puntos.
Dividir esta parábola en partes superiores e inferiores crea dos funciones separadas. Cada uno pasa la prueba de la línea vertical.
Invertir los roles de x e y en una parábola lateral puede definir x como una función de y siempre que cada valor de y corresponda a un solo valor de x.
Por ejemplo, una máquina expendedora en funcionamiento es una gran ilustración de una función: cada botón pulsado desde el dominio dado corresponde a un solo aperitivo específico de la gama.
Q1: What makes a relation a function?
A relation is a function when each input from the domain corresponds to exactly one output in the range. If a single input produces two different outputs, the relation fails to be a function. This one-to-one correspondence is the fundamental requirement for any equation, table, or graph to define a function.
Q2: How does the vertical line test determine if a graph is a function?
The vertical line test checks whether any vertical line intersects a graph more than once. If a vertical line crosses the curve at two or more points, the graph fails the test and does not represent a function. A sideways parabola, for example, fails because vertical lines intersect it at two different points.
Q3: Can a non-function be converted into separate functions?
Yes, a non-function can often be split into multiple valid functions. For instance, a sideways parabola that fails the vertical line test can be divided into upper and lower parts, each passing the test independently. Similarly, the equation y² = x can be split into two separate functions.
Q4: Why doesn't a function table with repeated inputs define a function?
A function table must assign exactly one output to each input. If the same input appears multiple times with different outputs, the table violates the definition of a function. This principle applies whether data is presented in a table, equation, or graph format.
Q5: What is an example of a function in everyday life?
A vending machine illustrates function behavior perfectly. Each button pressed from the available domain corresponds to exactly one specific snack from the range. This one-to-one relationship between input and output mirrors how mathematical functions operate and relates to introduction to one to one functions.
Q6: How can reversing x and y values create a function from a non-function?
Reversing the roles of x and y can define x as a function of y instead. For a sideways parabola, treating y as the input and x as the output allows each y-value to correspond to only one x-value, satisfying the function definition and passing the vertical line test.
Q7: What distinguishes an equation that defines a function from one that does not?
An equation defines a function if every x-value produces exactly one y-value. For example, y = 2x + 5 is a function because each input yields a unique output. However, x = y² + 1 is not a function of x because a single x-value corresponds to multiple y-values.