Sustitución trigonométrica

Los satélites Molniya, conocidos por sus órbitas altamente elípticas, trazan regiones distintas del espacio durante cada revolución alrededor de la Tierra.

Para estimar el área contenida, la órbita se modela como una elipse en su forma estándar, que luego se reordena a una expresión que involucra un término raíz cuadrada.

Como la elipse es simétrica respecto a ambos ejes, el área en el primer cuadrante se calcula mediante integración y luego se multiplica por cuatro para obtener el área total.

Aquí, la integración directa es difícil debido a la raíz cuadrada. Para resolver esto, se utiliza la sustitución trigonométrica sustituyendo x en términos de la función seno. Esta sustitución convierte el término raíz cuadrada en una función coseno simple, y la diferencial cambia en consecuencia.

Los límites de integración se actualizan entonces para corresponder al dominio angular, que van de cero a pi sobre dos. El integrando se reescribe usando una identidad trigonométrica para simplificar el proceso de integración. Esta integral definida se evalúa sobre los nuevos límites.

La expresión final da la superficie total barrida por el satélite durante una órbita completa.