Vectores en múltiples direcciones

Los vectores son cantidades con magnitud y dirección, a diferencia de los escalares, que solo tienen una magnitud y un signo.

La fuerza, la aceleración y la velocidad son ejemplos de vectores. Mientras que la masa, la energía y el tiempo son ejemplos de escalares.

Un vector generalmente se representa con una flecha. La longitud de la flecha corresponde a su magnitud y el ángulo indica la dirección.

Este video mostrará un sistema de fuerzas que se puede analizar con suma y resta de vectores, y demostrará cómo tales operaciones producen resultados que son importantes para comprender varios fenómenos físicos.

La descripción de un vector requiere un sistema de coordenadas. Dentro de este marco de referencia elegido, este ejemplo de una pelota pateada al aire tiene un vector de velocidad inicial. Como se explicó anteriormente, la longitud de la flecha representa la magnitud de la velocidad. Y la dirección del vector es su ángulo desde el suelo.

Cualquier vector puede descomponerse en componentes, que son vectores a su vez a lo largo de los ejes x e y. Si la velocidad inicial de la bola es de 20 metros por segundo a 60 grados, la componente horizontal es la velocidad por el coseno de 60 grados y tiene una magnitud de 10 metros por segundo. La componente vertical es la velocidad por seno de 60 grados y tiene una magnitud de aproximadamente 17,3 metros por segundo.

La suma vectorial de componentes horizontales y verticales reconstruye el vector de velocidad original. Para agregar vectores, imagina que colocas la cabeza de uno en la cola del otro. En este ejemplo, los vectores están en ángulo recto. La suma se produce cuando se viaja directamente desde la cola del primero hasta la cabeza del segundo.

Estos componentes están en ángulo recto, por lo que la magnitud de la suma viene dada por el teorema de Pitágoras. El ángulo es el arco tangente del componente vertical dividido por el componente horizontal.

Al agregar dos vectores que no son perpendiculares, descomponga cada uno en componentes x e y y luego agregue los componentes correspondientes. Finalmente, calcule la suma vectorial de los componentes horizontales y verticales como se explicó anteriormente. Restar un vector de otro es equivalente a negar el segundo vector y sumarlo al primero. Como antes, descomponga cada vector en componentes x e y. A continuación, resta el componente x más pequeño del más grande y haz lo mismo con los componentes y. Luego, igual que antes, calcule la suma vectorial de los componentes x e y resultantes.

Para demostrar la suma y resta de vectores en un laboratorio de física, el equipo comúnmente utilizado es una tabla de fuerzas. Se trata de un disco con ángulos marcados en todo el perímetro, un anillo en el centro unido a cuerdas con masas en el otro extremo suspendidas por poleas. Las masas producen fuerzas, que son los vectores a estudiar. La fuerza a lo largo de cada cuerda es igual a la fuerza gravitatoria, o mg, con unidades de Newtons.

Ahora, en esta configuración, si solo hay dos masas iguales a 180 grados una de la otra, entonces producen fuerzas con una suma vectorial de cero. Esta condición se llama equilibrio, que da como resultado una aceleración cero y, por lo tanto, el anillo no se moverá.

Pero si las dos fuerzas que tiran del anillo no se cancelan entre sí, por ejemplo, debido a un cambio en el ángulo, entonces la fuerza neta distinta de cero haría que el anillo se moviera. En tales casos, si conocemos las magnitudes y direcciones de estas fuerzas, entonces podemos usar la suma y resta de vectores para calcular la tercera fuerza necesaria para restablecer el equilibrio.

En la siguiente sección mostraremos cómo llevar a cabo tales experimentos de tabla de fuerzas que ponen a prueba los principios teóricos de la suma y resta de vectores

Si las dos fuerzas son iguales y opuestas, el anillo en el centro de la tabla no debería moverse. En este caso, cada vector de fuerza se opone exactamente al otro en magnitud y dirección. La suma vectorial tiene magnitud cero, que es la condición de fuerza neta cero, o equilibrio.

Para validar los principios de suma y resta de vectores, configure las masas y los ángulos de las fuerzas A y B como se indica en la primera línea de esta tabla. Mantenga el ángulo de A en cero grados. Ahora, configura la tercera fuerza sumando masas y cambiando el ángulo hasta que el anillo no se mueva.

Después de alcanzar el equilibrio, calcula la fuerza de C multiplicando su masa por la aceleración debida a la gravedad. Además, registre la magnitud y el ángulo de la fuerza C.

Repita esta prueba para los tres casos diferentes y registre la magnitud y el ángulo de la fuerza C cada vez.

Para las cuatro configuraciones experimentales, esta tabla muestra las magnitudes calculadas de las fuerzas A y B, y los ángulos de B con respecto a A. Usando la primera configuración como ejemplo, podemos calcular la fuerza C necesaria para establecer el equilibrio en la tabla.

Aquí la fuerza A tiene una magnitud de 0,98 Newtons a 0?. La fuerza B tiene la misma magnitud de 0,98 Newtons pero un ángulo de 20?. Para determinar el vector de C, descomponga las fuerzas A y B en sus componentes x e y. Nota: la fuerza A se dirige solo a lo largo del eje x y no tiene componente y. Luego suma los componentes para obtener los vectores x e y, que son la suma de los vectores A y B.

Para lograr el equilibrio, las componentes x e y de C deben ser opuestas a estos vectores. Para obtener el vector C, mueva la cola de su componente y a la cabeza del componente x. Luego suma los dos vectores usando el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud del vector C. Y el ángulo de C es el arco tangente de la componente vertical dividido por la componente horizontal. Por lo tanto, la magnitud calculada de C resulta ser 1,93 Newtons en un ángulo de 10? con respecto al eje x.

Ahora, durante el experimento, calculamos C a través de la observación y el ensayo y error, ajustando los pesos y ángulos para evitar el movimiento del anillo en la mesa de fuerzas.

Y esta tabla muestra que los resultados experimentales y calculados tanto para la magnitud como para el ángulo coinciden estrechamente para las cuatro configuraciones. Este acuerdo valida la representación de las fuerzas como vectores. La diferencia puede atribuirse a limitaciones en la precisión de los pesos, la precisión de la medición del ángulo y las fuerzas no contabilizadas causadas por la fricción en la mesa de fuerza y con las poleas.

La suma y resta de vectores se utiliza tanto en aplicaciones simples como complejas. Echemos un vistazo a algunos de ellos.

Al recorrer una ciudad como Nueva York, la distancia generalmente se mide en cuadras y las direcciones son norte, sur, este y oeste.

Una persona que camina cuatro cuadras hacia el este y tres cuadras hacia el norte experimenta un cambio de posición, que es una cantidad vectorial. Por lo tanto, al aplicar las ecuaciones para la suma de vectores, se puede calcular la magnitud y la dirección del vector entre los puntos inicial y final de la caminata.

De caminar a volar: un piloto está constantemente realizando sumas y restas de vectores mentales para maniobrar el avión. Mediante el uso de los flaps y alerones de las alas, un piloto puede ajustar la sustentación contra la gravedad. Si la sustentación es mayor que la fuerza gravitatoria, el avión asciende. Si la sustentación es menor que la fuerza gravitatoria, desciende.

Del mismo modo, un piloto utiliza los motores para ajustar el empuje frente a la resistencia. Si el empuje es mayor que la resistencia, el avión acelera. Si el empuje es menor que la resistencia, se desacelera.

Cuando la suma de estas cuatro fuerzas es igual a cero, el avión está en equilibrio y navega a velocidad y altitud constantes.

Acabas de ver la introducción de JoVE a los vectores. Ahora deberías saber cómo sumar y restar vectores, y entender cómo ciertas cantidades físicas se comportan como vectores. ¡Gracias por mirar!