Name: linearizing nonlinear rl circuits
Uploaded: 2024-09-26T13:17:19.000Z
Duration: 1 min 26 s
Channel: JoVE

Les systèmes linéaires présentent la superposition, la somme des réponses aux entrées individuelles, et l’homogénéité, mettant à l’échelle les réponses de manière cohérente à une entrée multipliée par un scalaire.
Un système non linéaire peut être considéré comme linéaire par rapport à un point de fonctionnement pour de petites modifications.
Le développement de la série de Taylor relie la valeur d'une fonction à ses dérivées en un point spécifique et aux écarts à partir de ce point. Négliger les termes d’ordre supérieur pour les petits écarts donne une relation linéaire.
Considérons un circuit RL avec une résistance non linéaire. La présence de la composante non linéaire nécessite la linéarisation du système avant de dériver la fonction de transfert.
La loi de tension de Kirchhoff est utilisée pour dériver une équation différentielle non linéaire.
Le courant à l’état stationnaire est déterminé en mettant la source de petit signal à zéro.
L'expression est réécrite en fonction de la valeur d'équilibre du courant. Les caractéristiques de la résistance non linéaire sont utilisées pour dériver l’équation différentielle linéarisée.
Les valeurs connues sont substituées et la transformée de Laplace est appliquée sans conditions initiales.
L’expression de la tension aux bornes de l’inductance autour du point d’équilibre est soumise à la transformée de Laplace et simplifiée pour obtenir la fonction de transfert.

approximation linéaire dans le domaine fréquentiel

Linear Approximation in Frequency Domain

Les systèmes linéaires sont caractérisés par deux propriétés principales : la superposition et l'homogénéité. La superposition permet à la réponse à entrées multiples d'être la somme des réponses à chaque entrée individuelle. L'homogénéité garantit que la mise à l'échelle d'une entrée par un scalaire entraîne la mise à l'échelle de la réponse par le même scalaire.

En revanche, les systèmes non linéaires ne possèdent pas intrinsèquement ces propriétés. Cependant, pour de petites déviations autour d'un point de fonctionnement, un système non linéaire peut souvent être considéré comme linéaire. Cette approximation est obtenue grâce au développement en série de Taylor, qui exprime une fonction en termes de ses dérivées en un point spécifique. En négligeant les termes d'ordre supérieur pour les petits écarts, on obtient une relation linéaire.

Considérons un circuit RL contenant une résistance non linéaire. Pour analyser ce système, une linéarisation est nécessaire avant de déterminer la fonction de transfert.

<img alt="Figure1" src="/files/ftp_upload/16099/16099_PT%20Figure_1.svg" style="height: 180px;">

La première étape consiste à appliquer la loi de tension de Kirchhoff au circuit, ce qui donne une équation différentielle non linéaire qui décrit le système. Par exemple, l'équation de la loi de tension pourrait prendre la forme suivante :

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16099/16099_PT%20EQUATION_1.svg" style="height: 20px;">

Où V(t) est la tension appliquée, L est l'inductance, R est la résistance et E représente la tension de la batterie.

Pour trouver le courant en régime permanent, nous réglons la source de petit signal à zéro et résolvons le courant d'équilibre i_0. L'équation différentielle non linéaire est ensuite réécrite en termes d'écarts par rapport à cet équilibre :

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16099/16099_PT%20EQUATION_2.svg" style="height: 22px;">

Les caractéristiques de la résistance non linéaire sont utilisées pour dériver l'équation différentielle linéarisée. Pour de faibles écarts de courant, l'équation de tension peut s'écrire comme suit :

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16099/16099_PT%20EQUATION_3.svg" style="height: 32px;">

En substituant cette approximation dans l'équation de la loi de tension, nous obtenons une équation différentielle linéaire. En substituant les valeurs connues et en supposant des conditions initiales nulles, la transformée de Laplace est appliquée pour convertir l'équation différentielle en une équation algébrique dans le domaine de Laplace.

Approximation linéaire dans le domaine fréquentiel

Les systèmes linéaires présentent la superposition, la somme des réponses aux entrées individuelles, et l’homogénéité, mettant à l’échelle les réponses de manière cohérente à une entrée multipliée par un ...

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Génie électrique

Unit 1

Unité 1

Modeling in Time and Frequency Domain

Modélisation dans les domaines temporel et fréquentiel

KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMES ET CONCEPTS CLÉS

linearizing nonlinear rl circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount.

Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a Taylor series expansion, which writes a function using its derivatives at one point. When higher-order terms are ignored for small deviations, the result is a linear relationship.

An RL circuit with a nonlinear resistor is a common example. The circuit is first described with Kirchhoff's voltage law, which gives a nonlinear differential equation. In that equation, V(t) is the applied voltage, L is the inductance, R is the resistance, and E is the battery voltage.

To analyze the circuit, the steady-state current is found first. The small-signal source is set to zero, and the equilibrium current i0 is solved for. The nonlinear equation is then rewritten in terms of small deviations from that equilibrium.

Next, the resistor’s characteristics are used to build the linearized equation. For small changes in current, the voltage can be approximated with a linear expression. Substituting that approximation into the voltage law gives a linear differential equation. With known values and zero initial conditions, the Laplace transform converts the equation into an algebraic form in the Laplace domain.

Linearizing Nonlinear RL Circuits

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC Circuit Transfer Functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

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transfer function to state space

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

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state space to transfer function

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linear approximation in time domain

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Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs. A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its...

key terms and concepts

Learn how a nonlinear RL circuit is linearized with Taylor series, steady-state current, Kirchhoff's voltage law, and the Laplace transform.

Linearizing Nonlinear RL Circuits | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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Linearizing Nonlinear RL Circuits

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