Name: rlc circuit state equations
Uploaded: 2024-09-26T13:17:19.000Z
Duration: 1 min 27 s
Channel: JoVE

La technique du domaine fréquentiel, qui est couramment utilisée pour l’analyse et la conception de systèmes de contrôle par rétroaction, ne convient qu’aux systèmes linéaires invariants dans le temps.
L’approche dans le domaine temporel ou dans l’espace d’état peut gérer des systèmes non linéaires, variables dans le temps et à entrées multiples et sorties multiples.
Dans la représentation de l’espace d’état, un sous-ensemble particulier de variables système, identifiées comme variables d’état, est utilisé pour construire des équations différentielles simultanées du premier ordre pour un système d’ordre n-éni, étiquetées comme équations d’état.
Considérons un circuit RLC. Étant donné que le réseau est de second ordre, il est nécessaire d'utiliser deux équations différentielles du premier ordre simultanées.
Les grandeurs qui sont dérivées dans l’équation dérivée pour les éléments de stockage d’énergie - l’inductance et le condensateur sont les variables d’état.
Les lois de tension et de courant de Kirchhoff sont utilisées pour exprimer les variables non étatiques sous forme de combinaisons linéaires des variables d'état et de l'entrée.
Ces résultats sont substitués dans les équations de dérivée d’origine pour obtenir les équations d’état.
L’équation de sortie est le courant traversant la résistance.
La dernière étape consiste à représenter ces équations sous forme de matrice vectorielle pour acquérir la représentation de l’espace d’état du réseau électrique donné.

représentation de l’espace-état

La technique du domaine fréquentiel, couramment utilisée dans l’analyse et la conception de systèmes de commande par rétroaction, est efficace pour les systèmes linéaires invariants dans le temps. Cependant, elle est insuffisante lorsqu’il s’agit de systèmes non linéaires, variables dans le temps et à entrées et sorties multiples. L’approche du domaine temporel ou de l’espace-état permet de remédier à ces limitations en utilisant des variables d’état pour construire des équations différentielles simultanées du premier ordre, appelées équations d’état, pour un système d’ordre n.

Prenons un circuit RLC, un système courant du second ordre. Pour analyser ce circuit à l’aide de l’approche de l’espace-état, deux équations différentielles simultanées du premier ordre sont nécessaires. Les variables d’état, dans ce contexte, sont dérivées des quantités différenciées dans les équations dérivées associées aux éléments de stockage d’énergie, en particulier l’inducteur et le condensateur.

Les lois de tension et de courant de Kirchhoff sont utilisées pour formuler les équations d’état. La loi de tension de Kirchhoff (KVL) stipule que toutes les différences de potentiel électrique autour d'une boucle sont nulles, tandis que la loi de courant de Kirchhoff (KCL) affirme que la somme des courants entrant dans une jonction est égale à la somme des courants qui en sortent. Ces lois permettent d’exprimer les variables qui ne caractérisent pas un état comme des combinaisons linéaires de variables d'état et d'entrées.

Dans un circuit RLC, les variables d'état sont la tension aux bornes du condensateur VC et le courant à travers l'inducteur iL. Les lois de Kirchhoff expriment le courant de résistance et d'autres variables, qui ne sont pas des variables d’état, en termes de VC et iL. Ces expressions sont ensuite remplacées dans les équations différentielles d'origine du circuit.

Après avoir déterminé les équations d'état, l'étape finale consiste à représenter ces équations sous forme de matrice vectorielle, ce qui permet d’obtenir la représentation de l'espace-état. Pour un circuit RLC, cela peut impliquer de définir le vecteur d'état x, le vecteur d'entrée u, le vecteur de sortie y et les matrices A, B, C et D de telle sorte que :

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16100/16100_PT%20EQUATION_1.svg" style="height: 16px;">
<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16100/16100_PT%20EQUATION_2.svg" style="height: 16px;">

Cette représentation est essentielle pour analyser le comportement dynamique du système et concevoir des stratégies de contrôle appropriées.

En résumé, l'approche de l'espace-état fournit un cadre robuste pour la gestion de systèmes complexes, allant au-delà des capacités des techniques dans le domaine fréquentiel en prenant en compte les non-linéarités, les variations temporelles et les entrées et sorties multiples.

Représentation de l’espace-état

La technique du domaine fréquentiel, qui est couramment utilisée pour l’analyse et la conception de systèmes de contrôle par rétroaction, ne convient que pour les systèmes linéaires et invariants dans le temps.

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Electrical Engineering

Génie électrique

Unit 1

Unité 1

Modeling in Time and Frequency Domain

Modélisation dans les domaines temporel et fréquentiel

KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMES ET CONCEPTS CLÉS

State Space Representation

rlc circuit state equations

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems.

The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order system like an RLC circuit, two first-order equations are needed. The state variables come from the quantities tied to the circuit’s energy-storage elements, which are the inductor and the capacitor.

Kirchhoff’s voltage law, or KVL, says that the total potential difference around a loop is zero. Kirchhoff’s current law, or KCL, says that the current entering a junction equals the current leaving it. These rules let engineers write non-state variables as linear combinations of the state variables and the input.

In an RLC circuit, the state variables are the capacitor voltage, VC, and the inductor current, iL. KVL and KCL are used to express the resistor current and other non-state variables in terms of VC and iL. Those expressions are then substituted into the circuit’s original differential equations.

After the state equations are found, they are written in vector-matrix form. This gives the state-space representation, with a state vector x, an input vector u, an output vector y, and matrices A, B, C, and D. This form is useful for studying system behavior and for designing control strategies.

RLC Circuit State Equations

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC Circuit Transfer Functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

linear approximation in frequency domain

Linearizing Nonlinear RL Circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount. Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a...

state space representation

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems. The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order...

transfer function to state space

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

Phase-variable state equations show how a transfer function can be rewritten for computer simulation. In state-space form, the system is described with state variables, which are the output and its first several derivatives. This makes it easier to model a physical system on a digital computer. The starting point is an nth-order linear differential equation with constant coefficients. Systems like an RLC circuit can be written this way. To build the state equations, the transfer function is...

state space to transfer function

Finding a Transfer Function from State Space

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems. The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics. Next, the Laplace...

linear approximation in time domain

Linearizing Nonlinear State-Space Models

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs. A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its...

key terms and concepts

Learn how an RLC circuit is written as state equations and converted into state-space form using KVL, KCL, and the key state variables VC and iL.

RLC Circuit State Equations | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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RLC Circuit State Equations

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