Name: servo system response in second-order models
Uploaded: 2024-11-21T14:54:10.000Z
Duration: 1 min 20 s
Channel: JoVE

Un système d’asservissement est un exemple de système de second ordre. Il se compose d’un contrôleur proportionnel et d’éléments de charge qui alignent une position de sortie avec une position d’entrée donnée.
Une équation différentielle du second ordre décrit la relation entre ces éléments. L’application de la transformée de Laplace dans des conditions initiales nulles donne la fonction de transfert, illustrant comment les entrées sont converties en sorties.
Une nouvelle interprétation du système conduit à la dérivation de la fonction de transfert en boucle fermée. Les systèmes qui possèdent deux pôles dans cette fonction de transfert sont définis comme des systèmes de second ordre.
La fonction de transfert en boucle fermée peut être réorganisée et réécrite pour révéler les paramètres clés : le facteur d’atténuation, la fréquence propre non amortie et le rapport d’amortissement.
Le rapport d’amortissement est défini comme le rapport entre l’amortissement réel et l’amortissement critique. Avec ces paramètres, la fonction de transfert en boucle fermée peut être réécrite sous une forme standard, représentant le système du second ordre.
Si le rapport d’amortissement est inférieur à 1 mais supérieur à 0, le système est considéré comme sous-amorti.
Si le rapport d'amortissement est égal à 1, le système est amorti de manière critique ; s'il est supérieur à 1, il est suramorti.

systèmes du second ordre i

Un système servo est un exemple de système du second ordre, comprenant un contrôleur proportionnel et des éléments de charge qui garantissent que la position de sortie s'aligne sur la position d'entrée. La relation entre ces composants est décrite par une équation différentielle du second ordre. L'application de la transformée de Laplace dans des conditions initiales nulles donne la fonction de transfert, montrant comment les entrées sont converties en sorties dans le système.

En réinterprétant le système, on peut en déduire la fonction de transfert en boucle fermée, qui caractérise les systèmes du second ordre comme ceux à deux pôles. Cette fonction de transfert en boucle fermée peut être réorganisée pour mettre en évidence les paramètres essentiels : fréquence naturelle non amortie et taux d'amortissement.

Le rapport d'amortissement (ζ) est un paramètre critique défini comme le rapport entre l'amortissement réel et l'amortissement critique. Il donne un aperçu du comportement et de la stabilité du système. Une fois ces paramètres identifiés, la fonction de transfert en boucle fermée est souvent réécrite sous une forme standard pour représenter le système du second ordre de manière exhaustive:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16113/16113_PT_Equation_001.svg" style="height: 44px;">

Ici, ωn désigne la fréquence naturelle non amortie et ζ  représente le taux d'amortissement. Le taux d'amortissement catégorise la réponse du système:

Sous-amorti (0 &lt; ζ &lt; 1): Le système présente un comportement oscillatoire avec une amplitude progressivement décroissante, indiquant des oscillations autour du point d'équilibre avant de se stabiliser.

Amortissement critique (ζ = 1): Le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible sans osciller, ce qui est souvent souhaité dans les systèmes servo pour un positionnement rapide et fluide.

Suramorti (ζ &gt; 1): Le système revient à l'équilibre sans oscillations mais plus lentement par rapport à un système amorti de manière critique, ce qui entraîne un temps de réponse plus lent, ce qui peut être moins souhaitable dans les applications nécessitant des ajustements rapides.

La compréhension de ces paramètres et de leur influence sur la réponse du système est essentielle pour concevoir et régler les systèmes d'asservissement afin qu'ils répondent à des critères de performance spécifiques. L'analyse des systèmes du second ordre à travers leurs fonctions de transfert et leurs caractéristiques d'amortissement permet aux ingénieurs de prédire et d'optimiser le comportement du système dans diverses conditions de fonctionnement.

Systèmes du second ordre I

Un système d’asservissement est un exemple de système de second ordre. Il se compose d’un contrôleur proportionnel et d’éléments de charge qui alignent une position de sortie avec un ...

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Unit 1

Unité 1

Transient and Steady-state Response Analysis

Analyse des réponses transitoire et permanente

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KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMES ET CONCEPTS CLÉS

Second Order systems I

servo system response in second-order models

A servo system is a second-order model that links an input position to an output position. It uses a proportional controller and load elements to keep the output aligned with the input. This behavior can be written as a second-order differential equation.

When the equation is transformed with the Laplace transform under zero initial conditions, it becomes a transfer function. The transfer function shows how the input is converted into the output. It can also be rewritten as a closed-loop transfer function, which is a common way to describe a second-order system.

Second-order systems have two poles. Their closed-loop transfer function is often rearranged to show two key parameters: the undamped natural frequency and the damping ratio. The damping ratio, written as zeta, is the ratio of actual damping to critical damping. It helps describe system behavior and stability.

The standard form of the closed-loop transfer function uses omega n for the undamped natural frequency and zeta for the damping ratio. These values help explain how the system responds over time. They are also useful when designing and tuning servo systems for specific performance goals.

The damping ratio divides the response into three cases. An underdamped system has 0 1 and does not oscillate, but it returns to equilibrium more slowly than a critically damped system.

Servo System Response in Second-Order Models

servo-system-response-in-second-order-models

transient and steady-state response

Control System Test Signals and Stability

Control system test signals help measure how a system reacts to change, stability, and accuracy. A ramp function is useful when a system changes gradually. A step function is used when a system faces a sudden disturbance. An impulse function is the best test signal for a shock input. These signals are used to study two main performance features: transient response and steady-state response. Transient response is the short-term change from the initial state to the final state. It shows how fast...

first order systems

RC System Responses to Step Inputs

RC circuits and other first-order systems show how a simple input can shape system response over time. These systems are often studied through their transfer function, which links the input and output under zero initial conditions. That relationship makes it easier to analyze how the system behaves when the input changes. A unit-step input gives a response that starts at zero and rises toward one. The Laplace transform of the step input is applied to the transfer function, then the result is...

second order systems i

A servo system is a second-order model that links an input position to an output position. It uses a proportional controller and load elements to keep the output aligned with the input. This behavior can be written as a second-order differential equation. When the equation is transformed with the Laplace transform under zero initial conditions, it becomes a transfer function. The transfer function shows how the input is converted into the output. It can also be rewritten as a closed-loop...

second order systems ii

Step Response of Second-Order Systems

Second-order systems react to a unit-step input in different ways depending on the damping ratio. When the damping ratio, zeta, is between 0 and 1, the system is underdamped. In this case, inverse Laplace methods give an output that oscillates with a decreasing amplitude. The error signal, which is the difference between the input and output, also shows damped oscillations before it goes to zero at steady state. When zeta equals 0, the system is undamped. The response keeps oscillating forever...

stability

System Response and Stability

System response and stability describe how a linear time-invariant (LTI) system reacts to a change in input. The time response has two parts: transient response and steady-state response. The transient response is the first reaction and it fades to zero over time. The steady-state response remains after the transient effects have disappeared. An LTI system is stable when it gives a bounded output for a bounded input. For these systems, stability depends on the roots of the characteristic...

routh-hurwitz criterion i

Checking Stability with the Routh Table

Checking stability with the Routh table is a useful part of analyzing a closed-loop transfer function. It helps determine whether a system will remain stable when load conditions change or when a fault occurs. In a power grid, this kind of check is important because instability can lead to blackouts. The Routh-Hurwitz criterion uses a table built from the denominator polynomial of the transfer function. The rows of the Routh table are labeled by powers of the complex variable s, starting with...

routh-hurwitz criterion ii

Routh Table Special Cases

Routh table special cases can make stability analysis harder when using the Routh-Hurwitz criterion. Two situations need extra care. One is a zero in the first column. The other is an entire row of zeros. When a single zero appears in the first column, division by zero would occur. The usual fix is to replace that zero with a very small number, epsilon (ε). The stability test then continues by assuming a sign for ε. If ε is positive, any sign change in the first column means the system is...

key terms and concepts

Learn how servo systems act as second-order models, how transfer functions are formed, and how damping ratio shapes underdamped, critical, and overdamped response.

Servo System Response in Second-Order Models | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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Servo System Response in Second-Order Models

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