Name: step response of second-order systems
Uploaded: 2024-11-21T14:54:10.000Z
Duration: 1 min 18 s
Channel: JoVE

Dans le cas sous-amorti, lorsqu’une entrée d’unité-pas est appliquée, l’équation de la fonction de transfert est résolue à l’aide de la méthode de Laplace inverse pour obtenir la réponse de sortie.
La différence entre l’entrée et la sortie est le signal d’erreur présentant une oscillation sinusoïdale amortie. À l’état d’équilibre, il n’y a pas d’erreur.
Si le rapport d’amortissement est égal à zéro, la réponse devient non amortie et les oscillations se poursuivent indéfiniment.
Dans le scénario d'amortissement critique, les deux pôles du système sont identiques. Pour une entrée d’unité-pas, l’équation de sortie et sa transformée de Laplace inverse sont déterminées.
Dans le scénario suramorti, les deux pôles du système sont négatifs, réels et inégaux.
Pour une entrée d’unité-pas, l’équation de sortie est formulée et sa transformation de Laplace inverse est calculée, ce qui donne deux termes exponentiels décroissants.
Lorsque le rapport d’amortissement est nettement supérieur à l’unité, une décroissance exponentielle est beaucoup plus rapide que l’autre et peut être négligée. Il en résulte une fonction de transfert approximative ressemblant à un système de premier ordre qui donne la réponse du pas unitaire du système.

systèmes du second ordre ii

Dans un système du second ordre sous-amorti, où le rapport d'amortissement ζ est compris entre 0 et 1, une entrée à pas unitaire produit une fonction de transfert qui, une fois transformée à l'aide de la méthode de Laplace inverse, révèle la réponse de sortie. La sortie présente une oscillation sinusoïdale amortie, et la différence entre l'entrée et la sortie est appelée signal d'erreur. Ce signal d'erreur présente également un comportement oscillatoire amorti. Finalement, lorsque le système atteint un état stable, l'erreur diminue jusqu'à zéro.

Si ζ = 0, le système devient non amorti, ce qui conduit à des oscillations perpétuelles sans aucune atténuation. Le système continue à osciller indéfiniment, sans jamais atteindre un état stationnaire.

Dans un scénario d'amortissement critique, où ζ = 1, les pôles du système sont identiques. Pour une entrée à pas unitaire, l'équation de sortie est dérivée et, par transformation de Laplace inverse, la réponse est obtenue. Cette réponse ne présente pas d'oscillations et revient à l'équilibre aussi rapidement que possible sans dépassement.

Dans un scénario suramorti, où ζ > 1, les deux composantes intégrales du système sont réelles, négatives et inégales. Lorsqu'une entrée à pas unitaire est appliquée, l'équation de sortie est formulée. La transformation de Laplace inverse de cette équation produit une réponse caractérisée par deux termes exponentiels décroissants. L'un de ces termes exponentiels décroissants est significativement plus rapide que l'autre lorsque le rapport d'amortissement est bien supérieur à l'unité. Par conséquent, le terme décroissant le plus rapidement peut souvent être négligé, simplifiant la réponse pour ressembler à celle d'un système du premier ordre. Cette approximation permet de déduire une fonction de transfert approximative, simplifiant ainsi l'analyse et la conception.

En résumé, la compréhension du comportement des systèmes du second ordre en réponse à une entrée unitaire dans diverses conditions d'amortissement est essentielle pour la conception et l'analyse des systèmes. La réponse sous-amortie est caractérisée par des oscillations amorties, tandis que la réponse non amortie présente des oscillations continues. Les systèmes à amortissement critique atteignent rapidement l'équilibre sans oscillations, et les systèmes suramortis présentent des réponses plus lentes et non oscillatoires. Ces informations sont essentielles pour régler les systèmes afin d'atteindre les caractéristiques de performance souhaitées, garantissant ainsi la stabilité et la précision dans les applications pratiques.

Systèmes du second ordre II

Dans le cas sous-amorti, lorsqu’une entrée d’unité-pas est appliquée, l’équation de la fonction de transfert est résolue à l’aide de la méthode de Laplace inverse pour obtenir la sortie ...

Education

Enseignement

JoVE Core

Electrical Engineering

Génie électrique

Unit 1

Unité 1

Transient and Steady-state Response Analysis

Analyse des réponses transitoire et permanente

transient-and-steady-state-response-analysis

KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMES ET CONCEPTS CLÉS

Second Order systems II

step response of second-order systems

Second-order systems react to a unit-step input in different ways depending on the damping ratio. When the damping ratio, zeta, is between 0 and 1, the system is underdamped. In this case, inverse Laplace methods give an output that oscillates with a decreasing amplitude. The error signal, which is the difference between the input and output, also shows damped oscillations before it goes to zero at steady state.

When zeta equals 0, the system is undamped. The response keeps oscillating forever and does not fade out. It never reaches a steady state. When zeta equals 1, the system is critically damped. The poles are identical, and the step response returns to equilibrium as fast as possible without overshooting or oscillating.

For zeta greater than 1, the system is overdamped. Its two components are real, negative, and unequal. The unit-step response is found by inverse Laplace transformation and contains two decaying exponential terms. If the damping ratio is much greater than 1, one term dies away much faster than the other. That faster term can often be ignored, so the response can be treated like a first-order system and an approximate transfer function can be written. These damping cases show how second-order systems can be tuned for stable and accurate performance.

Step Response of Second-Order Systems

transient and steady-state response

Control System Test Signals and Stability

Control system test signals help measure how a system reacts to change, stability, and accuracy. A ramp function is useful when a system changes gradually. A step function is used when a system faces a sudden disturbance. An impulse function is the best test signal for a shock input. These signals are used to study two main performance features: transient response and steady-state response. Transient response is the short-term change from the initial state to the final state. It shows how fast...

first order systems

RC System Responses to Step Inputs

RC circuits and other first-order systems show how a simple input can shape system response over time. These systems are often studied through their transfer function, which links the input and output under zero initial conditions. That relationship makes it easier to analyze how the system behaves when the input changes. A unit-step input gives a response that starts at zero and rises toward one. The Laplace transform of the step input is applied to the transfer function, then the result is...

second order systems i

Servo System Response in Second-Order Models

A servo system is a second-order model that links an input position to an output position. It uses a proportional controller and load elements to keep the output aligned with the input. This behavior can be written as a second-order differential equation. When the equation is transformed with the Laplace transform under zero initial conditions, it becomes a transfer function. The transfer function shows how the input is converted into the output. It can also be rewritten as a closed-loop...

second order systems ii

Second-order systems react to a unit-step input in different ways depending on the damping ratio. When the damping ratio, zeta, is between 0 and 1, the system is underdamped. In this case, inverse Laplace methods give an output that oscillates with a decreasing amplitude. The error signal, which is the difference between the input and output, also shows damped oscillations before it goes to zero at steady state. When zeta equals 0, the system is undamped. The response keeps oscillating forever...

stability

System Response and Stability

System response and stability describe how a linear time-invariant (LTI) system reacts to a change in input. The time response has two parts: transient response and steady-state response. The transient response is the first reaction and it fades to zero over time. The steady-state response remains after the transient effects have disappeared. An LTI system is stable when it gives a bounded output for a bounded input. For these systems, stability depends on the roots of the characteristic...

routh-hurwitz criterion i

Checking Stability with the Routh Table

Checking stability with the Routh table is a useful part of analyzing a closed-loop transfer function. It helps determine whether a system will remain stable when load conditions change or when a fault occurs. In a power grid, this kind of check is important because instability can lead to blackouts. The Routh-Hurwitz criterion uses a table built from the denominator polynomial of the transfer function. The rows of the Routh table are labeled by powers of the complex variable s, starting with...

routh-hurwitz criterion ii

Routh Table Special Cases

Routh table special cases can make stability analysis harder when using the Routh-Hurwitz criterion. Two situations need extra care. One is a zero in the first column. The other is an entire row of zeros. When a single zero appears in the first column, division by zero would occur. The usual fix is to replace that zero with a very small number, epsilon (ε). The stability test then continues by assuming a sign for ε. If ε is positive, any sign change in the first column means the system is...

key terms and concepts

Learn how second-order systems respond to a unit-step input under underdamped, undamped, critically damped, and overdamped conditions.

Step Response of Second-Order Systems | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Step Response of Second-Order Systems

Description

Transcript

Tags