Name: routh table special cases
Uploaded: 2025-05-22T09:06:20.000Z
Duration: 1 min 19 s
Channel: JoVE

Dans le critère de Routh-Hurwitz, deux situations distinctes peuvent se produire.
Lorsqu'un zéro singulier apparaît exclusivement dans la première colonne de la table de Routh, il soulève la question de la division par zéro.
Pour contourner ce problème, un petit nombre, généralement epsilon, remplace le zéro.
L’interprétation commence par supposer un signe pour epsilon. Si epsilon est choisi comme positif, le changement de signe indique que le système est instable avec deux pôles dans le demi-plan droit. De même, choisir une négation conduit à la même conclusion d’instabilité.
Le deuxième scénario se produit lorsqu’une ligne entière ne comprend que des zéros. Cela suggère qu’un polynôme pair est un facteur du polynôme d’origine.
Un polynôme auxiliaire est formé à l’aide des coefficients de la ligne au-dessus de la ligne zéro. Celle-ci est dérivée, et les coefficients de cette dérivée remplacent les zéros dans le tableau.
De plus, la méthode habituelle pour construire la table de Routh restante est implémentée.
Les polynômes pairs et impairs sont tabulés séparément, et le nombre total de pôles du demi-plan droit est la somme de ceux trouvés dans les tables polynomiales paires et impaires.

critère ii de routh-hurwitz

Dans l’application du critère de Routh-Hurwitz, deux scénarios spécifiques peuvent survenir qui compliquent l’analyse de stabilité.

Le premier scénario se produit lorsqu'un zéro singulier apparaît dans la première colonne du tableau de Routh. Cette situation crée un problème de division par zéro. Pour résoudre ce problème, un petit nombre positif ou négatif, noté epsilon (ε), est substitué au zéro. L'analyse de stabilité se poursuit en supposant un signe pour ε. Si ε est positif, tout changement de signe dans la première colonne du tableau de Routh indique que le système est instable, avec deux pôles situés dans la moitié droite du plan complexe. Inversement, si ε est négatif, la même conclusion d'instabilité est atteinte.

Le deuxième scénario se présente lorsqu'une ligne entière de la table de Routh est constituée uniquement de zéros. Ce cas suggère que le polynôme d'origine a un polynôme pair comme facteur. Pour résoudre ce problème, un polynôme auxiliaire est construit en utilisant les coefficients de la ligne située au-dessus de la ligne de zéros. Ce polynôme auxiliaire est ensuite dérivé et ses nouveaux coefficients remplacent les zéros dans la table de Routh. La procédure standard de construction du reste de la table de Routh se poursuit à partir de ce point.

Lorsqu'on traite séparément des polynômes pairs et impairs, le nombre total de pôles dans le demi-plan de droite est déterminé en additionnant les pôles trouvés dans les tables de Routh des polynômes pairs et impairs. Cette méthode garantit une analyse complète de la stabilité du système.

Ces cas particuliers dans le cadre du critère de Routh-Hurwitz sont essentiels pour déterminer avec précision la stabilité d'un système. En gérant soigneusement les zéros dans la première colonne et les lignes de zéros, les ingénieurs peuvent éviter toute mauvaise interprétation de la stabilité du système. Cette approche permet une identification précise des pôles du demi-plan de droite, garantissant ainsi une conception et une analyse du système robustes et fiables.

Critère II de Routh-Hurwitz

Dans le critère de Routh-Hurwitz, deux situations distinctes peuvent se produire.
Lorsqu'un zéro singulier apparaît exclusivement dans la première colonne de la table de Routh, il ...

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Transient and Steady-state Response Analysis

Analyse des réponses transitoire et permanente

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KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMES ET CONCEPTS CLÉS

Routh-Hurwitz Criterion II

routh table special cases

Routh table special cases can make stability analysis harder when using the Routh-Hurwitz criterion. Two situations need extra care. One is a zero in the first column. The other is an entire row of zeros.

When a single zero appears in the first column, division by zero would occur. The usual fix is to replace that zero with a very small number, epsilon (ε). The stability test then continues by assuming a sign for ε. If ε is positive, any sign change in the first column means the system is unstable, with two poles in the right-half s-plane. The same unstable result also follows if ε is negative.

A full row of zeros points to another case. It suggests that the original polynomial has an even polynomial factor. To handle it, an auxiliary polynomial is built from the coefficients in the row above the zero row. That auxiliary polynomial is then differentiated, and the derivative coefficients replace the zeros in the Routh table. After that, the standard Routh process continues.

When even and odd polynomials are handled separately, the total number of poles in the right-half s-plane comes from adding the poles found in both Routh tables. This step helps give a complete stability result. Careful treatment of first-column zeros and zero rows prevents wrong conclusions about system stability and improves the identification of right-half s-plane poles.

Routh Table Special Cases

transient and steady-state response

Control System Test Signals and Stability

Control system test signals help measure how a system reacts to change, stability, and accuracy. A ramp function is useful when a system changes gradually. A step function is used when a system faces a sudden disturbance. An impulse function is the best test signal for a shock input. These signals are used to study two main performance features: transient response and steady-state response. Transient response is the short-term change from the initial state to the final state. It shows how fast...

first order systems

RC System Responses to Step Inputs

RC circuits and other first-order systems show how a simple input can shape system response over time. These systems are often studied through their transfer function, which links the input and output under zero initial conditions. That relationship makes it easier to analyze how the system behaves when the input changes. A unit-step input gives a response that starts at zero and rises toward one. The Laplace transform of the step input is applied to the transfer function, then the result is...

second order systems i

Servo System Response in Second-Order Models

A servo system is a second-order model that links an input position to an output position. It uses a proportional controller and load elements to keep the output aligned with the input. This behavior can be written as a second-order differential equation. When the equation is transformed with the Laplace transform under zero initial conditions, it becomes a transfer function. The transfer function shows how the input is converted into the output. It can also be rewritten as a closed-loop...

second order systems ii

Step Response of Second-Order Systems

Second-order systems react to a unit-step input in different ways depending on the damping ratio. When the damping ratio, zeta, is between 0 and 1, the system is underdamped. In this case, inverse Laplace methods give an output that oscillates with a decreasing amplitude. The error signal, which is the difference between the input and output, also shows damped oscillations before it goes to zero at steady state. When zeta equals 0, the system is undamped. The response keeps oscillating forever...

stability

System Response and Stability

System response and stability describe how a linear time-invariant (LTI) system reacts to a change in input. The time response has two parts: transient response and steady-state response. The transient response is the first reaction and it fades to zero over time. The steady-state response remains after the transient effects have disappeared. An LTI system is stable when it gives a bounded output for a bounded input. For these systems, stability depends on the roots of the characteristic...

routh-hurwitz criterion i

Checking Stability with the Routh Table

Checking stability with the Routh table is a useful part of analyzing a closed-loop transfer function. It helps determine whether a system will remain stable when load conditions change or when a fault occurs. In a power grid, this kind of check is important because instability can lead to blackouts. The Routh-Hurwitz criterion uses a table built from the denominator polynomial of the transfer function. The rows of the Routh table are labeled by powers of the complex variable s, starting with...

routh-hurwitz criterion ii

Routh table special cases can make stability analysis harder when using the Routh-Hurwitz criterion. Two situations need extra care. One is a zero in the first column. The other is an entire row of zeros. When a single zero appears in the first column, division by zero would occur. The usual fix is to replace that zero with a very small number, epsilon (ε). The stability test then continues by assuming a sign for ε. If ε is positive, any sign change in the first column means the system is...

key terms and concepts

Learn how to handle zeros in the Routh table, use epsilon for first-column issues, and apply an auxiliary polynomial when a row of zeros appears.

Routh Table Special Cases | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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