Conditions aux limites électrostatiques

Le champ électrique à travers un milieu homogène est continu, mais en franchissant une frontière entre deux milieux, il devient discontinu. La différence entre les composantes du champ au-dessus et au-dessous de la limite donne la variation dans le champ.

Considérons une casemate gaussienne à la limite de surface. En appliquant la loi de Gauss, l'intégrale de surface peut être écrite comme la somme des intégrales sur les faces individuelles.

Si l’épaisseur du pilulier tend vers zéro, seules les faces parallèles à la frontière y contribuent. En simplifiant cela, on obtient la discontinuité de la composante normale du champ électrique à n’importe quelle frontière.

Pour la composante tangentielle, considérons une boucle mince sur la frontière. L’intégration du champ électrique sur ce chemin fermé est nulle. Négliger les contributions le long de l’épaisseur implique que la composante tangentielle est toujours continue à travers une frontière.

En combinant ces expressions, le champ à la frontière peut être écrit en définissant un vecteur unitaire.

L’intégrale linéaire du champ du bas vers au-dessus de la surface tend vers zéro, ce qui implique que le potentiel est continu à travers n’importe quelle frontière.