25.12: Conditions de frontière électrostatiques dans les diélectriques

Lorsqu'un champ électrique passe d'un milieu homogène à un autre, le passage de la frontière entre les deux milieux engendre une discontinuité dans le champ électrique. Cela donne lieu à des conditions de frontière électrostatiques qui dépendent du type de milieux à travers lesquels se propage le champ.

Considérons un cas où les deux milieux de part et d'autre d'une frontière sont deux matériaux diélectriques différents. Rappelons que le champ électrique et le déplacement électrique sont proportionnels et liés par la permittivité du matériau. En substituant le champ électrique dans les conditions de frontière électrostatiques par le déplacement électrique, on constate que la composante tangentielle du déplacement électrique est discontinue à travers l'interface. Mais dans le même cas, le champ électrique est continu. De même, la composante normale du champ électrique est discontinue à travers l'interface. Cependant, la composante normale du déplacement électrique est continue s'il n'y a pas de charges libres à la frontière.

Considérons maintenant le remplacement de l'un des matériaux diélectriques par un conducteur parfait. En appliquant le champ électrique à l'intérieur d'un conducteur parfait comme étant nul, on obtient les conditions de frontière pour une interface conducteur-diélectrique. Si l'autre diélectrique est retiré, la permittivité du matériau est égale à la permittivité du vide, puisque la constante diélectrique pour le vide est de 1. En substituant cela dans les conditions de frontière conducteur-vide, on obtient les conditions de frontière pour une interface conducteur-espace libre.

La condition aux limites électrostatiques donne la discontinuité d’un champ électrique à une frontière de surface. Considérons le cas où les deux milieux à travers la frontière sont des matériaux diélectriques.

La réécriture du champ électrique en termes de déplacement électrique montre que sa composante tangentielle est discontinue à travers l’interface.

Pour le composant normal, envisagez un pilulier gaussien sur l’interface. En réécrivant la loi de Gauss en termes de déplacement électrique, le changement des composants normaux à l'interface donne la densité de charge libre de surface.

S’il n’y a pas de frais gratuits à la limite, les composants normaux sont continus sur l’interface. Cependant, le champ électrique pour la même chose est discontinu.

Considérez un conducteur parfait à la place de l’un des diélectriques. Le champ électrique à l’intérieur d’un conducteur parfait est nul. En substituant cela dans les conditions aux limites diélectrique-diélectrique, on obtient les conditions aux limites à une interface conducteur-diélectrique.

Si l'autre diélectrique est retiré, la permittivité du matériau est égale à la permittivité de l'espace libre. Cela donne les conditions aux limites à une interface d’espace sans conducteur.