Formule d'Euler pour les colonnes à broches

Considérons une colonne PQ, reliée par des broches aux deux extrémités, avec une charge axiale centrée appliquée à l’extrémité P. Le flambement se produit si cette charge dépasse la charge critique.

Pour calculer la charge critique, imaginez le poteau comme une poutre verticale. Considérons maintenant un point O sur une courbe élastique de la poutre à une distance x de l’extrémité libre P et ayant la déviation y par rapport à la verticale.

Le moment de flexion au point O peut s’écrire comme la dérivée seconde de sa déviation par rapport à la distance x. En réarrangeant les termes, on obtient une équation différentielle du second ordre, exprimant une solution en fonction des fonctions sinus et cosinus.

La première condition aux limites exige que le coefficient B soit nul. La deuxième condition exige que le coefficient A ou le terme sinus soit nul.

Si l'on rend le terme sinus nul, on obtient l'expression de la charge axiale, la valeur la plus basse étant la charge critique ; c'est la formule d'Euler.

En substituant la formule d'Euler dans l'équation différentielle, on obtient une équation pour la courbe élastique après flambement.