15.1
Définition de la transformée de Laplace
La transformée de Laplace est un outil mathématique puissant qui simplifie les équations différentielles en les convertissant en expressions algébriques.
Généralement, la transformée de Laplace d'une fonction est représentée par le symbole L[x(t)], exprimé par l'équation suivante où 's' est une variable complexe avec des composantes réelles et imaginaires, respectivement σ et ω.
Il existe deux types de transformées de Laplace : la transformée bilatérale et la transformée unilatérale.
La transformée bilatérale permet aux fonctions temporelles d’être non nulles pour le temps négatif, ce qui la rend utile pour les signaux causaux et non causaux.
À l’inverse, la transformée unilatérale, qui est plus courante dans la pratique, suppose une fonction nulle pour le temps négatif, en se concentrant uniquement sur les signaux de temps positif.
Une propriété unique de la transformée de Laplace est sa capacité à convertir une fonction du domaine temporel en une fonction du domaine fréquentiel. Cette conversion constitue une paire de transformées de Laplace.
L’inverse de cette opération est appelé transformée de Laplace inverse et est donné par l’expression suivante.
La transformée de Laplace est largement utilisée dans l’analyse du signal, l’ingénierie du contrôle, la communication, l’analyse des systèmes et les équations différentielles.
La transformée de Laplace est une technique mathématique indispensable pour simplifier la résolution des équations différentielles en les convertissan…
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