Théorème de Parseval

Le théorème de Parseval stipule que si une fonction est périodique, alors la puissance moyenne du signal sur une période est égale à la somme des grandeurs carrées de tous les coefficients de Fourier complexes.

Pour valider le théorème de Parseval, supposons que la fonction a une série de Fourier complexe de forme standard. En substituant cela et en résolvant davantage, on obtient la preuve du théorème.

Il est intéressant de noter que le théorème de Parseval peut également être exprimé en termes de coefficients de Fourier de la série de Fourier trigonométrique.

Dans le traitement audio, le théorème de Parseval est utilisé pour comparer l'énergie d'une onde sonore originale avec sa version compressée.

L’interprétation technique de ce théorème fournit des informations pratiques. Si la fonction représente un signal électrique, tel qu’un courant ou une tension, alors le carré de la fonction représente la puissance instantanée dans une résistance de 1 ohm.

Ce théorème relie également l’énergie dissipée dans la résistance pendant une période à la série de Fourier, fournissant deux expressions différentes - l’une en termes de série de Fourier trigonométrique et l’autre en termes de phase d’amplitude série de Fourier.