Convergence des séries de Fourier

La série de Fourier d’un signal est une somme infinie d’exponentielles complexes. La somme infinie est souvent tronquée en une somme partielle finie pour la rendre pratique.

L’augmentation des termes dans une somme partielle devrait faire converger l’approximation vers le signal. Pourtant, près des discontinuités, des ondulations persistantes se produisent, se comprimant vers la discontinuité - un phénomène connu sous le nom de phénomène de Gibbs.

Gibbs a observé ces ondulations et dépassements à haute fréquence près des discontinuités dans les approximations tronquées des séries de Fourier.

Pour atténuer cela, choisissez un grand nombre de termes afin que l'énergie totale de l'ondulation soit négligeable.

Malgré les ondulations, l’énergie dans l’erreur d’approximation diminue avec plus de termes, ce qui permet à la série de Fourier de représenter des signaux discontinus.

La troncature de la série de Fourier à un nombre souhaité de termes fournit la meilleure approximation, minimisant ainsi l’erreur. L’erreur diminue avec plus de termes et finit par devenir nulle si le signal peut être représenté par une série de Fourier.

Par exemple, dans le traitement d’image, la réduction de l’e