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Construction du lieu des racines
La construction d'un lieu des racines implique plusieurs étapes clés pour analyser et visualiser le comportement des pôles d'un système avec un gain v…
La construction du locus racine consiste à déterminer le nombre de branches égal au nombre de pôles en boucle fermée. Le locus racine est symétrique par rapport à l’axe réel.
Le locus racine existe sur la partie de l’axe réel où la somme du nombre total de pôles finis en boucle ouverte et des zéros à gauche est impaire.
Prenant naissance aux pôles en boucle ouverte, le locus trace les pôles du système en boucle fermée avec un gain croissant et se termine à des zéros en boucle ouverte, où les pôles du système se stabilisent avec un gain croissant.
Une fonction qui tend vers l’infini lorsque s tend vers l’infini a un pôle à l’infini. S’il tend vers zéro, il a un zéro à l’infini.
Lorsque le locus racine se déplace vers l’infini, il s’approche de certaines lignes droites appelées asymptotes. Pour un système donné, l’ordonnée à l’origine et l’angle de l’axe réel sont calculés. Au fur et à mesure que le gain augmente, les angles commencent à se répéter.
Leur équation, basée sur l'intersection et l'angle de l'axe réel, révèle la trajectoire des loci des pôles à l'infini.
Le locus provient des pôles en boucle ouverte et se termine aux zéros en boucle ouverte.
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Q1: How many branches does a root locus have?
The number of branches in a root locus equals the number of closed-loop poles in the system. Each branch represents the path of one closed-loop pole as the gain varies. The root locus is symmetrical about the real axis, meaning branches appear in mirror-image pairs for complex poles.
Q2: Where does the root locus start and end?
The root locus originates at the open-loop poles and terminates at the open-loop zeros. As gain increases, the closed-loop poles trace paths from the pole locations toward the zero locations. When the locus reaches the zeros, the system poles stabilize with rising gain.
Q3: What determines where the root locus exists on the real axis?
The root locus exists on the real axis where the sum of the total number of finite open-loop poles and zeros to the left is odd. This rule applies for positive gain values and helps identify which segments of the real axis contain locus branches.
Q4: What are asymptotes in root locus construction?
Asymptotes are straight lines that the root locus approaches as it extends toward infinity. Their equations are determined by the real-axis intercept and specific angles based on the number of poles and zeros. These asymptotes guide the locus paths from the poles to infinity as gain increases.
Q5: How do poles and zeros at infinity affect root locus?
If a function approaches infinity as s approaches infinity, the system has a pole at infinity. If it approaches zero, it has a zero at infinity. These conditions influence the asymptotic behavior and determine how the root locus behaves as gain becomes very large.
Q6: Why is the root locus symmetrical about the real axis?
The root locus is symmetrical about the real axis because complex poles in linear systems always occur in conjugate pairs. This symmetry reflects the fundamental property that complex roots of characteristic equations with real coefficients must be conjugates, ensuring mirror-image behavior across the real axis.
Q7: How does the root locus method help in control system design?
The root locus method visualizes how closed-loop poles migrate with increasing gain, enabling engineers to analyze system stability and response. By plotting and calibrating the root locus, designers can predict system behavior across operating conditions and tune control parameters to achieve desired performance and stability.