La règle du quotient

Un réservoir d’eau se remplit et se vide simultanément, ce qui provoque des variations du niveau d’eau en raison de débits inégaux d’entrée et de sortie. Le but est de savoir combien de temps il faut pour que le réservoir se vide. Cela s’exprime comme le rapport entre le volume d’eau et le débit de drainage, qui évolue avec le temps car les deux sont des fonctions différenciables du temps.

Lorsque l’eau entre dans le réservoir, le volume total augmente légèrement, tandis que le débit de drainage varie également en raison des ajustements du système. Ces petits changements influencent le quotient global/volume/drainage.

Pour déterminer le taux de variation du quotient, considérons la variation du quotient sur un court intervalle de temps, puis divisons ce changement par cet intervalle.

En introduisant une limite lorsque l’intervalle de temps tend vers zéro, delta R tend aussi vers zéro car R varie continuellement avec le temps, simplifiant ainsi le dénominateur. En utilisant la définition des dérivées, la règle du quotient est dérivée.

Il est égal au débit de drainage multiplié par la dérivée du volume, moins le volume fois la dérivée du débit de drainage, le tout divisé par le carré du débit de drainage.

Cette dernière expression montre comment le rapport entre le volume d’eau et le débit de drainage évolue au fil du temps. En général, cette expression explique aussi comment le rapport de deux fonctions arbitraires évolue au fil du temps.