Dérivées des fonctions trigonométriques

Imaginez une grande roue tournant à vitesse constante. La hauteur verticale d’un point sur son bord varie en douceur au fil du temps, suivant une onde sinusoïdale.

Le taux de changement de hauteur du cavalier varie également de manière fluide et cyclique, comme une autre vague. Ce taux variable correspond à la dérivée de la fonction sinusoïdale.

Pour trouver la dérivée du sinus x, on commence par la définition limite d’une dérivée et on l’applique au sinus x.

D’abord, dévoloppons le sinus de (x + h) en utilisant la formule d’addition. Ensuite, réarrangez les termes et éliminez les sinus x et cosinus x.

Lorsque h tend vers zéro, le cosinus h moins 1 sur h tend vers zéro, et le sinus h sur h tend vers 1.

En substituant ces limites, on découvre que la dérivée du sinus x est le cosinus x.

La même approche montre que la dérivée du cosinus x est un sinus négatif x.

Puisque la fonction tangente est le rapport entre le sinus et le cosinus, pour trouver la dérivée, on applique la règle du quotient. Maintenant, en substituant les valeurs des dérivées des fonctions sinus et cosinus et en simplifiant à l’aide d’identités trigonométriques, on obtient la dérivée de la tangente comme une sécante au carré.