Limites des fonctions trigonométriques

Une limite trigonométrique fondamentale est la limite du sinus thêta divisée par la thêta lorsque le thêta tend vers zéro, ce qui correspond à un.

Pour visualiser, considérons un cercle unitaire et un petit angle thêta mesuré à partir de l’axe positif des x.

Un arc correspondant à cet angle est tracé. Pour un cercle unitaire, la longueur d’arc est numériquement égale à l’angle en radians.

Une ligne verticale est construite de l’extrémité de l’arc jusqu’à l’axe des x. Ce segment de droite représente le sinus de theta. Comme la droite BC est toujours plus petite que l’arc AB, une relation sinus theta sur thêta inférieur à un est dérivée.

Le rayon s’étend du centre O jusqu’au point B jusqu’à ce qu’il intersecte la droite tangente au point A au point D. La longueur du segment de droite AD représente tan theta. Géométriquement, la longueur d’arc thêta est inférieure à la longueur du segment tangent AD, ce qui peut être réécrit en termes de sinus et cosinus thêta.

En utilisant les deux relations, on dérive l’inégalité. Lorsque le thêta tend vers zéro, les valeurs extérieures convergent vers un. Puisque le rapport sinus/theta se situe entre eux, il s’approche aussi de un.