La règle de la chaîne

Considérons un système de trois vitesses, où x, y et z représentent respectivement les vitesses de rotation des première, deuxième et troisième vitesses.

La première vitesse tourne la deuxième, qui tourne la troisième. Le système est analysé à l’aide de la règle de la chaîne avec une relation de variables en deux étapes.

Le premier étage exprime la dépendance de la rotation du deuxième engrenage par rapport au premier, avec z en fonction de x.

Le deuxième étage exprime la dépendance de la rotation du troisième engrenage par rapport au second, avec y en fonction de z.

Il en résulte que la sortie du premier étage devient l’entrée du suivant, formant une fonction composite.

Un petit changement d’une vitesse provoque des changements dans les autres. Pour déterminer le taux de variation instantané de y sur x, on prend le rapport de Delta y sur Delta x avec la limite lorsque Delta x tend vers zéro. En introduisant la variable intermédiaire, delta z, ce rapport est réécrit.

Lorsque Delta x tend vers zéro, Delta z tend également vers zéro. Ensuite, la limite du produit des rapports s’exprime comme le produit de deux dérivées, donnant la règle de la chaîne. Cela donne la dérivée d’une fonction composite comme la dérivée de la fonction externe multipliée par la dérivée de la fonction intérieure.