Dérivées secondes des fonctions implicites

Les structures elliptiques, comme les arcs dans les ponts, sont souvent représentées par des équations implicites, car la hauteur ne peut pas être facilement exprimée en fonction de la dimension horizontale.

Dans ces situations, la différenciation implicite aide à déterminer comment la pente évolue le long de l’arche.

Puisque y dépend de x, la règle de la chaîne est appliquée pour différencier l’équation de l’ellipse. Cela donne la première dérivée, montrant que la pente dépend des deux coordonnées.

Pour trouver la seconde dérivée, dérivez à nouveau la première dérivée en utilisant la règle du quotient, car le numérateur et le dénominateur dépendent de x.

Cela donne une nouvelle expression qui contient toujours la première dérivée elle-même. Ensuite, remplacez l’expression complète de la première dérivée dans l’équation non simplifiée.

Simplifiez le numérateur complexe en trouvant un dénominateur commun pour combiner les termes.

En réarrangeant l’équation de l’ellipse originale, on obtient une identité pour ce terme combiné dans le numérateur. En substituant cette identité, on obtient l’expression finale pour la dérivée seconde.

Une dérivée seconde positive montre une courbure concave vers le haut, tandis qu’une dérivée négative donne une courbure concave vers le bas — montrant comment la pente et la courbure changent, ce qui aide à évaluer la stabilité des arches.