Dérivées des fonctions trigonométriques inverses

Un navire suit un avion approchant en mesurant la distance inclinée et l’angle d’élévation. À partir de ces mesures, les composantes horizontale et verticale de la distance peuvent être trouvées à l’aide de relations trigonométriques

Pour analyser mathématiquement le changement d’angle, l’angle thêta est cartographié comme y, et le rapport altitude/distance est mappé comme x, donnant la relation y égal à arcsin x.

La mesure de la façon dont les changements instantanés de x affectent y est la sensibilité angulaire, ce qui nécessite une différentiation implicite.

Le sinus des deux côtés de l’équation fournit une forme trigonométrique équivalente, exprimée par sinus y égal à x.

Cette équation est alors différentiée implicitement par rapport à x pour trouver la dérivée.

En réarrangeant et en appliquant l’identité pythagoricienne, la fonction cosinus peut s’écrire en termes de sinus. Puisque le sinus de y est égal à x, cela peut être substitué pour obtenir la dérivée de l’arcsin de x.

Lorsque l’avion est au-dessus, un léger changement de x provoque un énorme changement d’angle, entraînant une explosion de sensibilité au suivi et une défaillance du suivi. De même, on peut également trouver les dérivées des fonctions trigonométriques inverses restantes.