Valeurs extrêmes absolues et locales

Le théorème des valeurs extrêmes garantit l’existence à la fois d’un maximum absolu et d’un minimum absolu pour toute fonction continue définie sur un intervalle fermé.

Ces valeurs peuvent être trouvées lorsque la dérivée est nulle, indéfinie, ou aux extrémités de l’intervalle.

Considérons comment la température change au cours d’une journée, modélisée comme une fonction continue sur un intervalle fermé. Les températures les plus élevées et les plus basses sont appelées maximum absolu et minimal absolu, ou valeurs extrêmes. Ces valeurs aident à résumer la météo de la journée.

Sur une période plus courte, une température plus élevée ou plus basse que les valeurs proches est un maximum ou un minimum local maximal.

Considérons maintenant une autre fonction qui décrit comment la tension change dans un courant alternatif. Elle peut être modélisée comme une fonction sinusoïdal au fil du temps. La tension monte et descend selon un motif répétitif, créant plusieurs points où la pente est nulle. Ces points sont les maxima et minima locaux. Sur un intervalle fermé, tel qu’un cycle, les valeurs les plus élevées et les plus basses sont les extrêmes absolus. Ces extrêmes définissent la plage de fonctionnement sûre des circuits.